Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е.Слуцким в 1915 году. Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса. Уравнение Слуцкого имеет вид:
.
Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе - действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель приводит их к одной размерности). Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса и общего его изменения при изменении уровня реального дохода. Для ценных товаров величина , т.е. спрос растет при росте дохода. В этом случае, согласно уравнению Слуцкого, : если спрос растет, то он растет больше при наличии компенсации, если падает - то в меньшей степени. Может оказаться и так, что , но , то есть товары i и j взаимозаменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учета компенсации.
Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j.
|
|
Из первых двух свойств функции полезности потребителя следует, что (на графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности). Если оказывается, что (спрос на товар растет при росте цены - такие товары называются товарами Гиффина), то отсюда вытекает, что - то есть это обязательно малоценный товар.
Проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи потребительского выбора с функцией полезности .
Было получено:
Отсюда ; и .
В обоих случаях уравнения Слуцкого (при i = j и при i ¹ j)здесь выполнены.
Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахождения , то есть для расчета эффекта замены и оценки взаимозаменяемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются значительно легче.
Рассмотрим эластичности функции спроса. Эластичность спроса по цене равна ; эластичностьспроса по доходу .
Для функции эластичность .
Из свойств функции спроса можно получить равенство , т.е. нулю должна равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.
Покажем, что если в задаче потребительского выбора всего два товара, то они обязательно являются взаимозаменяемыми. Для этого воспользуемся тем, что и положительностью частных производных функции полезности.
Предположим, что выросла цена 1-го товара .
Поскольку , спрос на этот товар при условии компенсации падает. Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в которой обоих товаров меньше, чем в начальной.
Следовательно, в этой точке значение функции полезности должно быть также меньше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному). Следовательно, спрос на второй товар при условии компенсации должен вырасти (т.е. ) и он является взаимозаменяемым с первым товаром.
|
|
Пример 10.2. На основании данных о потреблении взаимозаменяемых и взаимодополняемых продуктов x 1 и x 2 в различном сочетании i, их цене и , полезности U и бюджете (доходах) потребителя D построить кривую безразличия и определить оптимальный план потребления названных продуктов.
Исходные данные имеют вид:
i | х 1 i | i | х 2 i |
2,9 | 13,5 | ||
3,0 | 12,0 | ||
5,0 | 7,5 | ||
7,0 | 6,0 | ||
10,0 | 5,0 | ||
12,0 | 4,5 | ||
12,3 | 4,6 |
U = 18; P 1 = 5; P 2 = 10,3; D = 100.
Решение. В нашей задаче продукты х1 и х 2 являются взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми, т.е. функция смешанная. Поэтому можно воспользоваться моделью неоклассической функции полезности, которая имеет вид , где .
Чтобы убедиться в правильности предположения о форме связи, следует графически изобразить изучаемую зависимость в системе координат по данным о потреблении продуктов х1 и х 2. По виду графика можно предположить, что зависимость между x 1 и x 2 имеет вид при .
Решение задачи по построению кривой безразличия заключается в определении параметров функции b 1 и b 2. Параметры кривой безразличия b 1 и b 2 отражают степень полезности каждого из продуктов x 1 и x 2.
Определив параметры b 1 и b 2, зная одну из переменных - количество потребления продукта x 1, всегда можно определить вторую переменную x 2 так, чтобы обеспечить максимум полезности от потребления продуктов
.
Для расчета параметров функции целесообразно ее линеаризовать посредством логарифмирования.
Имеем .
Обозначим и запишем .
Отсюда .
Обозначив , можно записать .
Для определения коэффициентов A и B обычно применяют метод наименьших квадратов:
Учитывая, что определяют и .
Проверяют правильность расчетов и определяют расчетную кривую безразличия , отражающую отношения предпочтения, характерные для отдельного индивидуума.
На графике оптимальный план потребления соответствует точке касания бюджетной прямой и кривой безразличия.
Ее координаты, т.е. значения , определяются путем нахождения частных производных функций
После некоторых преобразований имеем
Полученные функции и есть функции спроса. Они отражают оптимальный размер потребления продуктов, обеспечивающий максимум полезности в рамках бюджетного ограничения при заданных ценах.
При расчете величин A и B можно воспользоваться таблицей вспомогательных расчетов.
Ниже приводятся расчеты для имеющихся данных.
Таблица 10.1
Расчет функции безразличия
i | х 1 i | х 2 i | y 1 iy2i | y2i2 | ||
2,9 | 1,065 | 13,5 | 2,603 | 2,772 | 6,776 | |
3,0 | 1,099 | 12,0 | 2,485 | 2,731 | 6,175 | |
5,0 | 1,609 | 7,5 | 2,015 | 3,242 | 4,060 | |
7,0 | 1,946 | 6,0 | 1,792 | 3,487 | 3,211 | |
10,0 | 2,303 | 5,0 | 1,609 | 3,706 | 2,589 | |
12,0 | 2,485 | 4,5 | 1,504 | 3,737 | 2,262 | |
12,3 | 2,509 | 4,6 | 1,526 | 3,829 | 2,329 | |
Определим коэффициенты A и B методом наименьших квадратов:
= = 2.890; = 3.329; = 0.75.