Тройной интеграл

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области трехмерного пространства .

Разобьем область произвольным образом на n частей с объемами . В каждой частичной области выберем произвольную точку и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции в области .

Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Например, диаметром области, представляющей собой эллипсоид, будет его удвоенная наибольшая полуось.

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей :

.

Определение. Тройным интегралом от функции по области называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

.

Функция называется интегрируемой в области , область – областью интегрирования, x, y, z – переменными интегрирования, – элементом объема.

Теорема 6.2 (существования тройного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области , интегрируема в этой области.

Замечание. Если положить всюду в области , то из определения тройного интеграла легко получить формулу для вычисления объема V области с помощью тройного интеграла

или

.

Основные свойства тройного интеграла аналогичны соответствующим свойствам двойного интеграла.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если область интегрирования разбить на две непересекающиеся области и , то интеграл по всей области будет равен сумме интегралов по областям и :

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области , то в этой области существует такая точка , что справедлива формула

,

где V – объем области .