Двойной интеграл

Пусть функция определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области G плоскости Oxy.

Разобьем область G произвольным образом на n частей с площадями (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Разбиение области G на частичные области

В каждой частичной области выберем произвольную точку и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой для функции в области G.

Назовем диаметром области d наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей :

.

Определение. Двойным интегралом от функции по области называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области G на частичные области , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

.

Функция называется интегрируемой в области G, область G – областью интегрирования, x и y – переменными интегрирования, – элементом площади.

Теорема 6.1 (существования двойного интеграла) (без доказательства). Функция , непрерывная в замкнутой ограниченной области , интегрируема в этой области.

Из определения двойного интеграла и рис. 6.2 следует геометрический смысл двойного интеграла: двойной интеграл

численно равен объему криволинейного цилиндра, ограниченного сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции , которая определена в области G, с боков – цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области G, а образующие параллельны оси Oz, и снизу – областью G, лежащей в плоскости Oxy.

Рис. 6.2. Геометрический смысл двойного интеграла

Замечание. Если положить всюду в области G, то из определения двойного интеграла легко получить формулу для вычисления площади S области G с помощью двойного интеграла

или

.

Основные свойства двойного интеграла аналогичны соответствующим свойствам определенного интеграла. Поэтому сформулируем эти свойства без доказательства.

Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

.

Свойство 2. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

.

Свойство 3. Если область интегрирования G разбить на две непересекающиеся области G ₁ и G ₂, то интеграл по всей области G будет равен сумме интегралов по областям G ₁ и G ₂:

.

Свойство 4 (Теорема о среднем). Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, то в этой области существует такая точка , что справедлива формула

,

где S – площадь области G.