2015-04-23
1346
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного однократного (определенного) и одного двойного интегралов или к вычислению, в конечном итоге, трех однократных (определенных) интегралов следующим способом.
Пусть область 
(рис. 6.6) ограничена снизу поверхностью 
, сверху поверхностью 
, а с боковых сторон цилиндрической поверхностью, и пусть G – проекция области на плоскость 
, причем всюду в области G функции и непрерывны и 
.
Рис.6.6. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
Тогда тройной интеграл вычисляется по формуле
,
причем сначала вычисляется внутренний определенный интеграл по переменной z (при постоянных x и y), а затем внешний двойной интеграл по области G.
Записывая двойной интеграл через один из повторных (см. п. 6.2), получаем
.
Замечание. Аналогичные формулы для вычисления тройного интеграла можно записать и для случаев проектирования области 
на плоскости 
и 
.
Пример. Вычислить тройной интеграл
,
где область интегрирования – пирамида, ограниченная плоскостью 
и координатными плоскостями 
(рис. 6.7).
Рис. 6.7. Пример вычисления тройного интеграла в декартовых координатах
Область проектируется на плоскость в треугольник G, ограниченный прямыми 
. Полагая
и используя сначала формулу для вычисления тройного интеграла, а затем первую формулу для вычисления двойного интеграла, получим:
