2015-04-23
15011
Пусть векторная функция 
определена и непрерывна на некоторой кривой AB в плоскости 
.
Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками
,
выберем на каждой из частичных дуг 
произвольную точку 
(рис. 7.2) и составим сумму
,
где 
. Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции 
по кривой AB. Обозначим через 
наибольшую из длин частичных векторов 
:
.
Рис. 7.2. Разбиение кривой AB на частичные дуги в случае криволинейного интеграла второго рода
Определение. Криволинейным интегралом второго рода от функции 
по кривой AB называется предел интегральных сумм при 
, если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой AB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки 
:
или в другой записи:
,
где векторный элемент касательной к контуру интегрирования в точке 
равен
.
Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.
Если AB – замкнутая кривая, т.е. точка B совпадает с точкой A, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура AB условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура AB условимся называть отрицательным.
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру 
, пробегаемому в положительном направлении, обычно обозначают так:
.
Теорема 7.2 (существования криволинейного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная вдоль кусочно-гладкой кривой AB, интегрируема по этой кривой.
Основные свойства криволинейного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:
При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет знак:
.
Простейший физический смысл криволинейного интеграла второго рода – работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривой AB из точки A в точку B.
Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенных интегралов следующими способами.
Если кривая AB задана параметрически уравнениями 
, то
.
Если кривая AB задана явно уравнением 
, то
.
Если кривая AB задана явно уравнением 
, то
.
Замечание. Для пространственной кривой AB, заданной параметрически уравнениями 
, формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода имеет вид
аналогичный соответствующей формуле для плоской кривой.
Пример. Вычислить криволинейный интеграл второго рода
,
где L – замкнутый контур ABCA, образованный прямыми 
(рис. 7.3).
Разобьем контур интегрирования L на три части AB, BC, CA и вычислим исходный интеграл по каждому из этих участков, используя формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода в случае явно заданной кривой.
.
.
.
Используя свойство 3 криволинейных интегралов, получаем
.
Рис. 7.3. Пример вычисления криволинейного интеграла второго рода
