Криволинейный интеграл второго рода

Пусть векторная функция определена и непрерывна на некоторой кривой AB в плоскости .

Разобьем кривую AB произвольным образом на n частей точками

выберем на каждой из частичных дуг произвольную точку (рис. 7.2) и составим сумму

где . Данная сумма называется интегральной суммой для векторной функции по кривой AB. Обозначим через наибольшую из длин частичных векторов :

Рис. 7.2. Разбиение кривой AB на частичные дуги в случае криволинейного интеграла второго рода

Определение. Криволинейным интегралом второго рода от функции по кривой AB называется предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения кривой AB на частичные дуги , ни от выбора в каждой из них точки :

или в другой записи:

где векторный элемент касательной к контуру интегрирования в точке равен

и скалярное произведение

Функция называется интегрируемой по (вдоль) кривой AB, сама кривая AB – контуром интегрирования, A – начальной, а B – конечной точками интегрирования.

Если AB – замкнутая кривая, т.е. точка B совпадает с точкой A, из двух возможных направлений обхода замкнутого контура AB условимся называть положительным то направление, при котором область, лежащая внутри этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход. Противоположное направление обхода контура AB условимся называть отрицательным.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру , пробегаемому в положительном направлении, обычно обозначают так:

Теорема 7.2 (существования криволинейного интеграла второго рода) (без доказательства). Функция , непрерывная вдоль кусочно-гладкой кривой AB, интегрируема по этой кривой.

Основные свойства криволинейного интеграла второго рода аналогичны соответствующим свойствам криволинейного интеграла первого рода, за исключением свойства 5:

При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл второго рода изменяет знак:

Простейший физический смысл криволинейного интеграла второго рода – работа силового поля при перемещении в нем материальной точки по кривой AB из точки A в точку B.

Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению определенных интегралов следующими способами.

Если кривая AB задана параметрически уравнениями , то

Если кривая AB задана явно уравнением , то

Замечание. Для пространственной кривой AB, заданной параметрически уравнениями , формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода имеет вид

аналогичный соответствующей формуле для плоской кривой.

Пример. Вычислить криволинейный интеграл второго рода

где L – замкнутый контур ABCA, образованный прямыми (рис. 7.3).

Разобьем контур интегрирования L на три части AB, BC, CA и вычислим исходный интеграл по каждому из этих участков, используя формулу для вычисления криволинейного интеграла второго рода в случае явно заданной кривой.