При решении инженерных и экономических задач часто возникает задача восстановления интерполяционного многочлена по известным значениям функции и производным в равноотстоящих узлах. Приведем два примера.
1. Пусть переменное движение материальной точки описывается по неизвестному закону . При этом известно: координаты точек
,
,…,
; скоростей
,
,…,
; ускорений
,
,…,
;...и т.д. до
,
,…,
. Требуется по заданным значениям найти закон движения
.
2. Пусть объем произведенной продукции описывается неизвестной функцией . При этом известно: количество продукции
,
,…,
; производительность труда
,
,…,
. При этом некоторые данные могут отсутствовать. Требуется по заданным значениям восстановить неизвестную функцию и значения.
Итак, имеем следующую постановку задачи.
Пусть функция задана в равноотстоящих узлах
, где
, и имеется информация о значениях производных произвольного порядка в этих точках, то есть
,
,
,….,
— всего
значений;
,
,
,….,
— всего
значений;
,
,
,….,
— всего
значений;
… … … … … … … … …
,
,
,….,
— всего
значений.
В общем случае , кроме того, информация об промежуточных производных может отсутствовать.
Необходимо получить явный вид функции .
Будем называть узел , в котором определена
производная, узлом кратности
; узел
в котором определена
- производная, узлом кратности
; и т.д… узел
в котором определена
- производная, узлом кратности
.
Решение задачи о нахождении явного вида функции будем называть задачей о кратных узлах, а сам полином, аппроксимирующий функцию — полиномом Эрмита.
Поиск общего вида интерполяционного многочлена Эрмита представляет сложную задачу и требует привлечения математического аппарата теории функции комплексного переменного и выходит за рамки настоящего курса.
Можно показать, что искомый многочлен будет n-ой степени, которая определяется из равенства , а его аналитическая форма определяется выражением
(42)
где - многочлен Лагранжа m-ой степени, построенный по m известным значениям функции
,
- многочлен степени m+1.
Формула (42) составлена из следующих соображений. В узлах, при , где
, второе слагаемое равно нулю, и значения функции в этих точках равны
. Таким образом, выражение (42) представляет собой выделение многочлена Лагранжа из многочлена Эрмита, а второе слагаемое степени n должно обращаться в нуль в узловых точках и состоит из произведения многочлена m+1 степени[3] и неизвестного многочлена
, для определения которого продифференцируем (42)
(43)
В узловых точках, второе слагаемое равно нулю, и
(44)
Если информация об интерполируемой функции исчерпывается данными об ее первых производных, то формула (41) будет окончательной и достаточной для восстановления неизвестной функции простым методом Лагранжа. Если известны производные более высоких порядков, то процесс дифференцирования (39) продолжают - раз, т.е. до максимальной кратности.
Пример 6.Пусть некоторая функция задана в виде
i | x | ![]() | ![]() | ![]() |
Требуется найти многочлен Эрмита, для которого: ;
;
, для
.