Интерполяция с кратными узлами. Полиномы Эрмита

При решении инженерных и экономических задач часто возникает задача восстановления интерполяционного многочлена по известным значениям функции и производным в равноотстоящих узлах. Приведем два примера.

1. Пусть переменное движение материальной точки описывается по неизвестному закону . При этом известно: координаты точек , ,…, ; скоростей , ,…, ; ускорений , ,…, ;...и т.д. до , ,…, . Требуется по заданным значениям найти закон движения .

2. Пусть объем произведенной продукции описывается неизвестной функцией . При этом известно: количество продукции , ,…, ; производительность труда , ,…, . При этом некоторые данные могут отсутствовать. Требуется по заданным значениям восстановить неизвестную функцию и значения.

Итак, имеем следующую постановку задачи.

Пусть функция задана в равноотстоящих узлах , где , и имеется информация о значениях производных произвольного порядка в этих точках, то есть

, , ,…., — всего значений;

… … … … … … … … …

, , ,…., — всего значений.

В общем случае , кроме того, информация об промежуточных производных может отсутствовать.

Необходимо получить явный вид функции .

Будем называть узел , в котором определена производная, узлом кратности ; узел в котором определена - производная, узлом кратности ; и т.д… узел в котором определена - производная, узлом кратности .

Решение задачи о нахождении явного вида функции будем называть задачей о кратных узлах, а сам полином, аппроксимирующий функцию — полиномом Эрмита.

Поиск общего вида интерполяционного многочлена Эрмита представляет сложную задачу и требует привлечения математического аппарата теории функции комплексного переменного и выходит за рамки настоящего курса.

Можно показать, что искомый многочлен будет n-ой степени, которая определяется из равенства , а его аналитическая форма определяется выражением

(42)

где - многочлен Лагранжа m-ой степени, построенный по m известным значениям функции , - многочлен степени m+1.

Формула (42) составлена из следующих соображений. В узлах, при , где , второе слагаемое равно нулю, и значения функции в этих точках равны . Таким образом, выражение (42) представляет собой выделение многочлена Лагранжа из многочлена Эрмита, а второе слагаемое степени n должно обращаться в нуль в узловых точках и состоит из произведения многочлена m+1 степени[3] и неизвестного многочлена , для определения которого продифференцируем (42)

(43)

В узловых точках, второе слагаемое равно нулю, и

(44)

Если информация об интерполируемой функции исчерпывается данными об ее первых производных, то формула (41) будет окончательной и достаточной для восстановления неизвестной функции простым методом Лагранжа. Если известны производные более высоких порядков, то процесс дифференцирования (39) продолжают - раз, т.е. до максимальной кратности.