Студопедия
МОТОСАФАРИ и МОТОТУРЫ АФРИКА !!!


Авиадвигателестроения Административное право Административное право Беларусии Алгебра Архитектура Безопасность жизнедеятельности Введение в профессию «психолог» Введение в экономику культуры Высшая математика Геология Геоморфология Гидрология и гидрометрии Гидросистемы и гидромашины История Украины Культурология Культурология Логика Маркетинг Машиностроение Медицинская психология Менеджмент Металлы и сварка Методы и средства измерений электрических величин Мировая экономика Начертательная геометрия Основы экономической теории Охрана труда Пожарная тактика Процессы и структуры мышления Профессиональная психология Психология Психология менеджмента Современные фундаментальные и прикладные исследования в приборостроении Социальная психология Социально-философская проблематика Социология Статистика Теоретические основы информатики Теория автоматического регулирования Теория вероятности Транспортное право Туроператор Уголовное право Уголовный процесс Управление современным производством Физика Физические явления Философия Холодильные установки Экология Экономика История экономики Основы экономики Экономика предприятия Экономическая история Экономическая теория Экономический анализ Развитие экономики ЕС Чрезвычайные ситуации ВКонтакте Одноклассники Мой Мир Фейсбук LiveJournal Instagram

Интерполяция с кратными узлами. Полиномы Эрмита




При решении инженерных и экономических задач часто возникает задача восстановления интерполяционного многочлена по известным значениям функции и производным в равноотстоящих узлах. Приведем два примера.

1. Пусть переменное движение материальной точки описывается по неизвестному закону . При этом известно: координаты точек , ,…, ; скоростей , ,…, ; ускорений , ,…, ;...и т.д. до , ,…, . Требуется по заданным значениям найти закон движения .

2. Пусть объем произведенной продукции описывается неизвестной функцией . При этом известно: количество продукции , ,…, ; производительность труда , ,…, . При этом некоторые данные могут отсутствовать. Требуется по заданным значениям восстановить неизвестную функцию и значения.

Итак, имеем следующую постановку задачи.

Пусть функция задана в равноотстоящих узлах , где , и имеется информация о значениях производных произвольного порядка в этих точках, то есть

, , ,…., — всего значений;

, , ,…., — всего значений;

, , ,…., — всего значений;

… … … … … … … … …

, , ,…., — всего значений.

В общем случае , кроме того, информация об промежуточных производных может отсутствовать.

Необходимо получить явный вид функции .

Будем называть узел , в котором определена производная, узлом кратности ; узел в котором определена - производная, узлом кратности ; и т.д… узел в котором определена - производная, узлом кратности .

Решение задачи о нахождении явного вида функции будем называть задачей о кратных узлах, а сам полином, аппроксимирующий функцию — полиномом Эрмита.

Поиск общего вида интерполяционного многочлена Эрмита представляет сложную задачу и требует привлечения математического аппарата теории функции комплексного переменного и выходит за рамки настоящего курса.

Можно показать, что искомый многочлен будет n-ой степени, которая определяется из равенства , а его аналитическая форма определяется выражением

(42)

где - многочлен Лагранжа m-ой степени, построенный по m известным значениям функции , - многочлен степени m+1.

Формула (42) составлена из следующих соображений. В узлах, при , где , второе слагаемое равно нулю, и значения функции в этих точках равны . Таким образом, выражение (42) представляет собой выделение многочлена Лагранжа из многочлена Эрмита, а второе слагаемое степени n должно обращаться в нуль в узловых точках и состоит из произведения многочлена m+1 степени[3] и неизвестного многочлена , для определения которого продифференцируем (42)

(43)

В узловых точках, второе слагаемое равно нулю, и

(44)

Если информация об интерполируемой функции исчерпывается данными об ее первых производных, то формула (41) будет окончательной и достаточной для восстановления неизвестной функции простым методом Лагранжа. Если известны производные более высоких порядков, то процесс дифференцирования (39) продолжают - раз, т.е. до максимальной кратности.




Пример 6.Пусть некоторая функция задана в виде

i x
 

Требуется найти многочлен Эрмита, для которого: ; ; , для .





Дата добавления: 2015-04-23; просмотров: 3270; Опубликованный материал нарушает авторские права? | Защита персональных данных | ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ


Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10363 - | 7648 - или читать все...

Читайте также:

 

35.175.172.211 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.


Генерация страницы за: 0.029 сек.