Комплексные изображения sin-функций

Временные и временные диаграммы просты и наглядны, но неудобны при расчётах большого количества гармонических колебаний, т.к. требуют геометрических построений при сложении векторов. Поэтому удобнее располагать вектор гармонического колебания на комплексной плоскости, тогда конечную точку этого вектора можно выразить некоторым комплексным числом, которое называют текущим комплексом гармонического колебания или комплексом мгновенного значения. Сам вектор колебания в этом случае называют символическим; в общем виде: где – полная фаза колебаний (рис.7).

Текущий комплекс – мгновенное текущее значение гармонического колебания, как любое комплексное число, может быть представлено в 3-х формах:

1) алгебраическая: ;

где а – действительная часть, проецируемая на ось Оx; b – мнимаячасть, проецируемая на ось Оy; - мнимая единица.

2) тригонометрическая: ,

где модуль (амплитуда) – и фаза (аргумент) – .

3) показательная: ,

где > - комплексная амплитуда гармонического колебания – является основной характеристикой при анализе цепей sin-тока, т.к. информации об амплитуде и начальной фазе при известной частоте w достаточно для анализа частотных свойств цепи.Поэтому все методы анализа цепей при гармоническом воздействии используют в качестве переменных комплексные амплитуды тока и напряжения , что составляет суть символического метода анализа, т.к. комплексная амплитуда есть начальное (при t=0) значение символического вектора гармонического колебания на комплексной плоскости. При этом проекция символического вектора на действительную ось Оx – есть значение ; а на мнимую ось Оу – ; т.е. мгновенные значения тока или напряжения могут изменяться в зависимости от выбранной проекции либо по cos, либо по sin.

Основные свойства текущего комплекса:

1. Умножение на мнимую единицу: - приводит к сдвигу фазы на , т.е. к повороту символического вектора на прямой угол.

2. Производная от текущего комплекса: = - равна произведению текущего комплекса на оператор дифференцирования в частотной области.

3. Интеграл от текущего комплекса: = равен умножению текущего комплекса на оператор интегрирования в частотной области.

При сложении и вычитании гармонических колебаний удобнее использовать алгебраическую форму записи, при умножении и делении – показательную форму. Аналогично мгновенным, текущие комплексы можно ввести и для действующих значений токов, напряжений и ЭДС: ; поскольку именно они чаще всего используются при расчетах цепей переменного тока.