Решение. Вероятности pi попадания величины F в разряды DFi для нормального (теоретического) распределения рассчитываются через функцию Лапласа

n Расчеты дают: m_F*=179,16; D_F*=53; s_F*=7,28.

Вероятности p_i попадания величины F в разряды DF_i для нормального (теоретического) распределения рассчитываются через функцию Лапласа:

b_i-`F<sub>i</sub> a<sub>i</sub>-`F_i

p_i=0,5[ Ф (¾¾¾)- Ф (¾¾¾)],

s 2 s 2

где a_i,b_i - границы i-го разряда (DF_i),

`F_i - середина i-го разряда,

s = s_F* (условие, обеспечивающее третью связь между теоретическим и статистическим распределением, т.к. нормальный закон имеет два параметра: m и s).

n По формуле(2.34):

(m_i-500p_i)²

c² = S ¾¾¾¾¾¾ = 3,75

⁸ 500p_i

n Число степеней свободы: r = 8-3 = 5;

По таблице распределения c² для r=5:

при c²=3,00 p =0,7; при c²=4,35 p =0,5.

Интерполируя, для c²=3,75 находим: p =0,59.

Это довольно большая вероятность, поэтому гипотеза о нормальном распределении величины F правдоподобна.

Критерий Колмогорова А.Н.

Для сглаживания малых выборок (n<200) можно применить критерий Колмогорова.

А.Н.Колмогоров предложил в качестве меры расхождения D использовать максимум модуля разности между статистической F*(x) и теоретической F(x) функциями распределения:

D = max|F*(x)-F(x)| (2.35)

В качестве статистической функции распределения F*(x) принимается относительная кумулятивная частота (см. табл.2.3).

Величина D очень просто определяется и имеет достаточно простой закон распределения. А.Н.Колмогоров доказал, что какова бы ни была F(x) непрерывной случайной величины Х, при неограниченном возрастании числа независимых наблюдений n вероятность неравенства:

D n ³ l

стремится к пределу:

_¥

P(l) = 1-S(-1)^Kexp(-2K²l²), (2.36)

^K=-¥

где l = D n.

Функция P(l) также табулирована.

Схема применения критерия Колмогорова: строится статистическая функция распределения F*(x) и предполагаемая теоретическая функция F(x) и определяется максимум D модуля разности. Затем рассчитывается l и по таблице функции P(l) находится вероятность p. Это - вероятность того, что за счет чисто случайных причин максимальное расхождение между статистическим и теоретическим распределениями будет не больше, чем фактически наблюдаемое для данной выборки. Если p весьма мала, гипотеза Н_o о соответствии теоретического распределения статистическому отбрасывается, иначе ее можно считать совместимой с опытными данными.

Ограничение: критерий Колмогорова можно применять только в случае, если F(x) полностью известна из теоретических соображений (не только вид, но и все параметры), в противном случае метод дает завышенную вероятность P(l) и есть риск принять ошибочную гипотезу.

Пример 2.16. В файле SIMULA переменная port1 представляет собой выборку наблюдений за количеством судов, приходящих за сутки в обследуемый порт. Объем выборки N=365 (наблюдение велось в течение года). С помощью пакета Statgraf проверить гипотезу о том, что исследуемая величина (число судов, прибывающих в данный порт за одни сутки) распределена по закону Пуассона.