Критерии согласия

Один из вопросов, возникающих при сглаживании статистических рядов - вопрос о согласованности теоретического и статистического распределения.

Как бы хорошо ни была подобрана теоретическая кривая, между нею и статистическим распределением неизбежны некоторые расхождения. Возникает вопрос: объясняются ли эти расхождения только случайными обстоятельствами, связанными с ограниченным числом наблюдений, или они являются существенными и связаны с тем, что подобранная кривая плохо выравнивает данные статистического ряда. Для ответа на этот вопрос служат критерии согласия. Рассмотрим некоторые из этих критериев.

Критерий Пирсона (критерий «хи-квадрат»)

Пусть произведено n независимых опытов, в каждом из которых случайная величина X приняла определенное значение. По результатам этих опытов построен статистический ряд распределения, имеющий вид, приведенный в табл.2.12, где (x_ix_i₊₁) - границы групп, p_i* - статистическая вероятность попадания в i-ю группу, равная относительной частоте этой группы, т.е. p_i*=m_i/n. Общее количество групп (разрядов) равно K.

Требуется проверить, согласуются ли экспериментальные данные с гипотезой Н_о о том, что случайная величина X имеет закон распределения, представленный функцией F(x), или плотностью распределения f(x).

Зная теоретический закон распределения, можно найти теоретические вероятности попадания случайной величины в каждый разряд: p₁, p₂,...,p_K. В качестве меры расхождения принимается сумма квадратов отклонений (p_i*-p_i), взятая с некоторыми «весами» C_i:

U = å C_i(p_i*-p_i)².

_i=1

Веса вводятся, потому что абсолютная величина отклонения p_i*-p_i может быть значительной, если p_i велика, и наоборот. К.Пирсон доказал, что если веса принять равными величине C_i=n/p_i, то при больших n закон распределения случайной величины U практически не зависит от F(x), а зависит от числа разрядов K и при увеличении n приближается к распределению c²(хи-квадрат):

(p_i*-p_i)² (m_i-np_i)²

U = c² = nS ¾¾¾¾¾ = S ¾¾¾¾¾, (2.34)

_K p_{i K} np_i

где mi - число значений случайной величины X в i-м разряде,

т.е. частота i-ой группы,

p_i*=m_i/n - статистическая вероятность попадания в i-ю

группу (относительная частота).

Распределение c² выражается через Г -функцию (интеграл Эйлера) и зависит от двух величин: r (число степеней свободы) и p (уровень вероятности).

Вероятность p в интерпретации К.Пирсона это вероятность такого события, при котором u<U, где U - наблюденное в опыте значение меры расхождения (т.е. расхождение между теоретической кривой и статистическим рядом), u - мера несовпадения теоретической кривой и распределения генеральной совокупности.

Число степеней свободы r равно числу разрядов к минус число связей между статистическим и теоретическим распределениями. Примеры таких связей:

1) Sp_i*=1;

2)совпадение статистического и теоретического среднего:

Sx_ip_i*=m_x;

3)совпадение статистической и теоретической дисперсии D_x*=D_x и более высоких моментов распределения.

Первая и вторая связь накладываются всегда, остальные - при числе параметров теоретического распределения, большем, чем 1.

Функция плотности c²(r,p) довольно сложно выражается аналитически, и поскольку интеграл Эйлера не берется, эта функция задается таблично, как таблица распределения c².

По значениям c²=U и r=K-s из таблицы распределения c² находят вероятность p. Это вероятность того, что за счет чисто случайных причин мера расхождения u в общем случае (т.е. для генеральной совокупности) будет меньше, чем полученное в данной выборке значение U.

Проверка согласия распределений производится на основе следующих условий:

n если вероятность p весьма мала (вероятность практически невозможного события), то результат опыта следует считать противоречащим гипотезе Н_о о том, что закон распределения величины Х есть F(x);

n если p сравнительно велика, можно признать расхождения между теоретическим и статистическим законами несущественными и отнести их за счет случайных причин, т.е. гипотеза Н_о не противоречит опытным данным.

Схема применения критерия c²:

1)рассчитать меру расхождения c² по формуле (2.34);

2)определить число степеней свободы: r=K-s;

3)по таблице распределения c² найти вероятность p.

Если эта вероятность велика, то гипотеза принимается.

На практике:

n если p <0,1, следует проверить эксперимент, по возможности повторить его, и если расхождения снова будут существенны - подыскать более подходящий для этих данных закон;

n если p> 0,1, гипотеза не противоречит опытным данным (однако это обстоятельство не является безусловным доказательством гипотезы);

n очень большая величина порядка p (порядка 0,99) говорит о подозрительности исходных данных, т.к. маловероятно, чтобы за счет случайных причин при большом числе опытов расхождения с вероятностью 0,99 были бы менее наблюденных. Причиной может быть неправильная регистрация и обработка данных, когда некоторые результаты произвольно отбрасываются или изменяются.

Критерий Пирсона хорошо работает при n>200 и m_i не менее 5-10 наблюдений в группе.

Если m_i=1¸2, то следует объединить разряды и пересчитать статистический вряд распределения.

Пример 2.15. Произведено обследование величины валютной выручки F (тыс. $) в 500 рейсах однотипных судов на линии. Результаты сведены в статистический ряд (табл.2.16). Проверить согласованность этого распределения с нормальным.

Таблица 2.16