Измерение корреляции

Поскольку две переменные могут быть коррелированы, т.е. сиатистичкски связаны в большей или меньшей степени, представляет интерес измерение степени этой связи. Для измерения используют корреляционный момент (момент связи двух переменных) и коэффициент корреляции.

Корреляционный момент вычисляется как второй смешанный центральный момент:

m_1,1 = M[ ], (2.37)

где - центрированные значения связанных случайных величин X и Y.

Если известны законы распределения случайных величин X и Y, корреляционный момент K_x,y можно вычислить по одной из следующих формул.

1) для дискретных случайных величин:

_{n m}

K_xy=m_1,1 =S S(x_i-m_x)(y_j-m_y)p_ij, (2.38)

^{i=1 j=1}

2) для непрерывных случайных величин:

_{¥ ¥}

K_xy=m_1,1 =ò ò(x-m_x)(y-m_y)f(x,y)dx dy, (2.39)

^{-¥ -¥}

где p_ij=P[X=x_i,Y=y_j] - вероятность того, что система (XY) примет значение (x_iy_j);

f(x,y) - совместная плотность распределения случайных величин X и Y.

Связь (линейная) между случайными величинами выражается безразмерным показателем - коэффициентом корреляции r_xy:

K_xy

r_xy = ¾¾¾. (2.40)

s_xs_y

Как правило, закон распределения случайной выборки неизвестен, поэтому нет возможности вычислить K_xy для подстановки в формулу (2.40). В этом случае статистический материал, составляющий выборку объемом n, обрабатывается с целью получения статистического значения коэффициента корреляции по формуле:

å(x_i-`x)(y<sub>i</sub>-`y)

_n

r_xy = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾. (2.41)

ns_xs_y

Формула (2.41) представляет собой вычисляемую статистику, т.е. на самом деле дает точечную оценку коэфиициента корреляции.