Регрессия. Если точки (xi,yi) на графике рассеивания близко располагаются к некоторой кривой (прямой), такая кривая называется линией регрессии

Если точки (x_i,y_i) на графике рассеивания близко располагаются к некоторой кривой (прямой), такая кривая называется линией регрессии. Иногда ее можно представить в математической форме: Y=f(X).

Общая проблема подгонки математической кривой к статистическим данным решается корреляционным анализом и используется в целях прогнозирования.

Поскольку в общем случае точки на графике имеют отклонения (большие или малые) от прямой линии, линейное уравнение можно записать только для средней величины:

`y = a₀ + a₁x, (2.42)

где `y - математическое ожидание случайной величины Y в зависимости от конкретного значения X.

Формула (2.42) представляет собой уравнение регрессии Y по X, или корреляционное уравнение.

Можно записать уравнение регрессии для X по Y:

`x = b₀ + b₁y. (2.43)

Оба эти уравнения на графике рассеивания изображаются прямыми линиями (см. рис.2.14). На этом графике видно, что в общем случае между линиями прямой и обратной регрессии имеется некоторый угол j. В предельных случаях:

если r_xy=1, то j = 0;

если r_xy=0, то j = 90°.

Для нахождения коэффициентов a и b используют метод наименьших квадратов. Он сводится к следующему.

n Для данного статистического ряда строится система нормальных уравнений. Система содержит столько уравнений, сколько случайных величин связано в одном наблюдении. Для двух (пары) случайных величин система имеет вид:

_{n n}

a₀n + a₁åx_i = åy_i ü

_{i=1 i=1}

ý 2.44

_{n n n}

a₀åx_i + a₁åx_i² = åx_iy_i þ

_{i=1 i=1 i=1}

n Система решается относительно неизвестных a₀ и a₁ (методом подстановки или любым другим подходящим методом).

n Полученные коэффициенты a₀ и a₁ подставляются в уравнение регрессии.

Пример 2.17. Для определения выработки портовых рабочих за смену произведено статистическое наблюдение, результаты которого оформлены в виде трех переменных длиной по 50 значений:

INTEN – выработка одного рабочего (тонн в смену);

KMECH – коэффициент механизации труда бригады (%);

STORG – коэффициент складирования (%).

С помощью СТАТГРАФ-а (SG)найти уравнения регрессии переменной INTEN по KMECH и переменной INTEN по STORG, а также коэффициент корреляции r_KI переменной KMECH по INTEN и коэффициент корреляции r_SI переменной STORG по INTEN.