Признак Лейбница

Признак Лейбница используется при исследовании на сходимость знакочередующегося ряда.(См. п 3.4.3).

Теорема. Пусть дан знакочередующийся числовой ряд . Знакочередующийся ряд сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.

2. Общий член ряда стремится к нулю:

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение.

В общий член ряда входит множитель (-1) ⁿ, а значит, ряд является знакочередующимся и нужно использовать признак Лейбница.

Члены ряда не убывают по модулю. Да и предел

Вывод: ряд расходится.

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда, который содержит бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов.

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Определение. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Пример

Исследовать на сходимость ряд

Решение

Ряд является знакочередующимся.

Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

2) Предел общего члена ряда равен нулю

Вывод: ряд сходится.

Выясним, как сходится данный ряд, условно или абсолютно.

Составим ряд из модулей – просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

– расходится (гармонический ряд).

Таким образом, исходный ряд сходится. условно.

Пример

Исследовать на сходимость ряд .

Решение

Данный ряд является знакочередующимся.

Используем признак Лейбница:

1) Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

2)

Вывод: ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Анализируя общий член ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд сходится вместе с рядом .

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Продолжение следует.