Основной предпосылкой использования интегрального признака Коши является тот факт, что в общем члене ряда есть некоторая функция и её производная.
Теорема. Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1;+¥) функции f(x) так, что a1=f(1), a2=f(2), … an=f(n), то:
а) если , то ряд расходится;
б) если равен любому конечному числу, то ряд сходится.
Замечания.
1. Функцию f(x) можно получить из общего члена ряда an путем замены n на x.
- несобственный интеграл.
Пример
Исследовать на сходимость ряд .
Решение
Подынтегральная функция непрерывна на [2;+¥). Используем интегральный признак:
+¥ |
Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
Пример
Исследовать на сходимость ряд .
Решение
Подынтегральная функция непрерывна на [1;+¥). Используем интегральный признак Коши:
Получено конечное число, значит, исследуемый ряд сходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
|
|