Достаточное условие экстремума функции двух переменных

Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая d -окрестность точки М ₀, что для всех точек из этой окрестности (отличных от М ₀) выполняется неравенство

Максимум и минимум функции называются ее экстремумами (локальными), а точка М ₀, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Достаточное условие экстремума. Пусть – стационарная точка дважды непрерывно дифференцируемой функции Обозначим:

Тогда:

1) если то функция имеет в точке М ₀ локальный экстремум (максимум при и минимум при );

2) если то в точке М ₀ функция не имеет экстремума;

3) если то в точке М ₀ функция может иметь локальный экстремум, а может и не иметь его (нужны дополнительные исследования).

Допустим, что функция f (x; y) определена на некотором множестве

Число С называют наибольшим значением функции (глобальный максимум) на множестве D, если

записывают так:

Число с называют наименьшим значением функции (глобальным минимумом) на множестве D, если

записывают так: