Производная поля по направлению. Градиент функции

Производной функции в точке по направлению называется предел

если предел существует.

Если функция дифференцируема, то производная по направлению вычисляется по формуле

(18.31)

В частности, если – функция двух переменных, то формула (18.31) производной по направлению примет вид:

(18.32)

где – угол между вектором и осью Ох.

Градиентом функции в точке называется вектор

(18.33)

или, то же самое,

Связь между градиентом функции и производной по направлению устанавливает формула

где – угол между векторами и

Градиент функции указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наибольшее значение производной достигаемое в направление градиента, равно

В частности, если – функция двух переменных, то