Синтез линейной системы методом корневого годографа. пример

Корневым годографом называется траектория корней характеристического уравнения замкнутой структуры на комплексной плоскости при изменении одного из параметров системы, обычно, статического коэффициента усиления. Корневой годограф представляет собой непрерывные линии, симметричные относительно действительной оси. Число ветвей корневого годографа равно порядку системы, т.е. числу полюсов разомкнутой структуры.

При синтезе систем путем введения корректирующих звеньев методом корневого годографа используют следующие виды корректирующих звеньев: дифференциальное, интегральное и интегро-дифференцирующее. На систему оказывают большее влияние корни, лежащие ближе к мнимой оси и мы пытаемся при помощи корректирующих звеньев избавиться от этих корней или отодвинуть их от мнимой оси. Дифференцирующее звено позволяет улучшить динамику переходного процесса. При интегральной коррекции для увеличения К вводится диполь. Диполем назовем нуль и полюс, близко расположенные друг к другу и около начала координат. Интегральная коррекция позволяет путем введения диполя увеличить коэффициент усиления и, следовательно, уменьшить погрешность. Интегро-дифференцирующая коррекция включает в себя свойства дифференциальной и интегральной коррекции. Вводя дифференциальную цепочку, мы обеспечиваем динамику переходного процесса, а затем, вводя интегральную цепочку, т.е. вводя в систему диполь, мы обеспечиваем необходимое значение коэффициента усиления, т.е. точность системы.

Пример на применение метода корневого годографа: Пусть передаточная функция разомкнутой исходной структуры:

Приступая к коррекции, полезно иметь представление о корневом годографе исходной системы (рис.1), здесь p₁, p₂, p₃ – полюса разомкнутой исходной системы.

рис.1

Путем коррекции необходимо обеспечить: t_п≤1,5 с; К_N=30

σ% < 5%.

где t_п– длительность переходного процесса;

K_N – статический коэффициент передачи, определяемый погрешностью ε, в номинальном режиме;

σ% - перерегулирование.

ξ – затухание: отношение действительной части доминирующего корня характеристического уравнения замкнутой структуры к его мнимой части.

δ – действительная часть корня; ω – мнимая часть корня.

Для нахождения затухания ξ по заданной величине перерегулирования σ% можно использовать график σ%=f(ξ), приведенный на (рис.2), либо воспользоваться формулой:

[5]

Рис. 2

Следовательно, доминирующий корень должен располагаться на линии m (рис.1).

Выбор в качестве доминирующего корня S₁= -2 + j2,8 преследует две цели: обеспечить заданное перерегулирование σ% и заданную длительность переходного процесса.

Последовательность расчета: вводя дифференциальную цепочку, мы обеспечиваем динамику переходного процесса, а затем, вводя интегральную цепочку, т.е. вводя в систему диполь, мы обеспечиваем необходимое значение коэффициента усиления, т.е. точность системы.

Фазовые соотношения в S₁ (предполагается, что полюс p₂ будет скомпенсирован соответствующим нулем корректирующей цепочки)

Следовательно, точка S₁ не может принадлежать траектории корней исходной нескорректированной системы.

Введем дополнительный полюс P₀ и нуль N₀ с таким расчетом, чтобы полностью скомпенсировать полюс p₂=-2 нулем N₀=-2 и выполнить в точке S₁ уравнение фаз.

Тогда уравнение фаз в S₁ можно записать так:

где θ₀угол от полюса p₀:

Рис. 3

Из треугольника P₀N₀S₁ (рис.3) легко определить координату полюса P₀:

Итак, для того, чтобы S₁действительно стали доминирующими полюсами системы необходимо последовательно ввести опережающее (дифференцирующее) звено с передаточной функцией: