Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Комплексное число изображается на плоскости точкой или, эквивалентно, вектором с координатами (рис.1), и при таком способе задания операции сложения будет соответствовать векторное сложение. Плоскость называется комплексной плоскостью, ось - действительной осью и - мнимой осью.

Рис.1.

В полярной системе координат на комплексной плоскости число будет определяться парой действительных чисел (рис.1). Из уравнений, связывающих декартовую и полярную системы координат, следует:

и имеет смысл модуля, а называется аргументом числа , . С использованием (8) число запишется как

и называется тригонометрической формой записи комлексного числа . Отметим, что аргумент определен с точностью до целого кратного , что записывается как

Выражение в скобках формулы (9) может быть преобразовано с помощью соотношения:

которое называется формулой Эйлера и позволяет получить еще один способ записи комплексных чисел

Выражение (12) называется показательной формой записи комплексного числа и является одной из наиболее часто встречающихся в комплексном анализе. Использование символа экспоненты в (11) указывает на то, что эта величина должна обладать и теми же свойствами. Доказательство последнего утверждения будет удобнее рассмотреть на примере.