Предельный переход в неравенствах (для функций)

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n ≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Предельный переход в неравенствах

Теорема 1. Если и, начиная с некоторого номера, выполняется , то .

Доказательство. Пусть с некоторого номера выполняется Предположим, что . Так как , то для существует такой номер N, что для всех выполняется или , откуда получаем , что противоречит условию. Случай рассматривается аналогично.

Следствие 1. Пусть и сходятся и, начиная с некоторого номера, выполняется , тогда .

Следствие 2. Пусть сходится и при любом , тогда и .

Доказательство. Так как , то и .

Теорема 2. Пусть и с некоторого номера n выполняется условие .Тогда последовательность сходится и .

Доказательство. Пусть – номер, с которого выполняется , тогда с этого номера выполняется , или . Так как и , то для любого числа существуют такие номера и , что для всех , а для всех , а для всех номеров , где выполняется , что и означает