Пример №1. Абсолютно жесткий диск шарнирно закреплен в точке О и удерживается от поворота n упруго-деформируемыми стержнями

Рис. 1 Расчетная схема Рис. 2 План перемещений

Абсолютно жесткий диск шарнирно закреплен в точке О и удерживается от поворота n упруго-деформируемыми стержнями. К диску приложена система сил действующая в плоскости XOY имеющая относительно центра приведения О главный вектор R₀ и главный момент M₀. Требуется найти усилия в стержнях N_i (i=1,2,…n) при n>1 (при n=1 задача статически определима) и составляющие реакции в шарнире R_х и R_у.

Выполним анализ задачи. Для удобства изобразим отдельно только i-й удерживающий стержень до и после деформации (рис. 2)

1 Статическая сторона задачи

Уравнения равновесия статики запишутся:

(1)

2 Геометрическая сторона задачи. Из плана перемещений (рис. 2) следует: следовательно,

(2)

где r_i - модуль радиус – вектора шарнира с_i , соединяющего i -й стержень с диском, γ – неизвестный угол поворота абсолютно жесткого диска, обусловленный деформацией стержней.

3 Физическая сторона задачи

Полагая деформации стержней линейно – упругими, имеем:

(3) где (4)

E_i, A_i и l_i – соответственно модуль Юнга, площадь поперечного сечения и длина i -го стержня.

Линейная система 3-х уравнений (1), n уравнений (2) и n уравнений (3) (всего 3+2n уравнений) содержит неизвестные R_x, R_y, γ, Δl_i, N_i количество которых также 3+2n. Следовательно, решая совместно систему (1), (2), (3), можно с учетом принятых допущений однозначно определить все неизвестные и оценить прочность и жесткость заданной упругой системы.

4 Синтез полученных зависимостей

Здесь можно пойти 2-мя путями.

а) решение в усилиях

Составляем взамен (2) соотношения

(2a)

и этим исключаем из рассматриваемой системы неизвестную угловую деформацию γ. Таких соотношений, где бы не повторялись пары i, k, можно составить n-1. Далее, в (2а) на основании (3) выразим абсолютные деформации Δl_i через N_i

(2б)

Совместно решаем систему 3-х уравнений (1) и n-1 уравнений (2б) (всего n+2 уравнений), что позволяет определить R_x, R_y, и N_i. Недостаток метода – при большом числе удерживающих стержней необходимо решать систему линейных уравнений высокого порядка. В этом случае эффективно применение метода деформаций (перемещений).

б) решение в деформациях

Из исходной разрешающей системы уравнений (1), (2) и (3) исключаем усилия в стержнях N_i. Для этого подставляя (2) в (3) получим

(4)

Подставив (4) в последнее из уравнений (1) найдем угол поворота абсолютно жесткого диска:

(5)

Далее, по формулам (4) с учетом найденного γ определяем усилия в стержнях N_i, после чего из первых двух уравнений системы (1) находим составляющие реакции в шарнире R_x, R_y (они могут потребоваться для расчета прочности шарнирного устройства).

В данной задаче метод перемещений имеет явные преимущества перед методом сил при n>2, главным образом за счет отсутствия необходимости решения системы уравнений высокого порядка.