Анализ задачи. Уравнения равновесия узла О можно представить в виде

1 Статическая сторона

Уравнения равновесия узла О можно представить в виде

(1)

Следовательно, при n=2, если оба стержня не лежат на одной прямой, система геометрически неизменяема и статически определима.

При n >2 система статически неопределима. Степень статической неопределимости S= n-2. В последнем случае для определения усилий в стержнях необходимо учесть их деформативность.

2 Кинематическая сторона задачи

Под действием нагрузки F стержни деформируются и узел О получит перемещение, проекции которого на оси X и Y u и υ соответственно (рис. 2). Откуда абсолютная деформация i -го стержня:

(2)

3 Физическая сторона задачи

Полагая деформации линейно - упругими, имеем

где (3)

Таким образом, для отыскания n неизвестных усилий N_i, n неизвестных деформаций Δl_i и двух компонент перемещения узла u и υ (всего 2n+2 неизвестных) получено 2 уравнения равновесия (1), n геометрических соотношений (2) и n физических уравнений (3) (всего 2n+2 уравнений). Следовательно, система 2n+2 линейных уравнений относительно 2n+2 неизвестных позволяет однозначно их определить.

4 Синтез полученных зависимостей

а) решение в усилиях

Предварительно преобразуем геометрическое условие (2) включающее и абсолютные деформации стержней и перемещения узла к виду, где перемещения исключены

(4)

являющемуся условием совместности деформаций для каждой тройки k≠i≠j стержней рассматриваемой системы.

Подставляя (3) в (2а) получаем n-2 дополнительные линейные однородные уравнения относительно неизвестных усилий в стержнях

(5)

Решая совместно линейную систему, состоящую из 2-х уравнений (1) и

n-2 уравнений (5) определяем n неизвестных усилий N_i и по формулам (3) _i.

б) решение в перемещениях

В данном случае удобно за основные неизвестные принять перемещения узла О. Для этого необходимо в рассматриваемой системе предварительно исключить неизвестные усилия N_i и деформации Δl_i.

Подставляя (2) в (3) найдем

(4)

подставляя (4) в (1) получим

, (5)

где

(6)

Решая (5) находим искомые перемещения u и v, а по формулам (2) и (3) абсолютные деформации _i и усилия N_i в стержнях.

Как и в предыдущей задаче, решение в перемещениях предпочтительно при числе стержней n>4.

Контрольные вопросы к лекции 5

1 Как понимать статическую неопределимость задачи сопротивления материалов вообще?

2 Разъясните понятия внутренней и внешней статической неопределимости.

3 Поясните общую схему раскрытия статической неопределимости.

4 Суть и последовательность анализа статической неопределимости задач механики деформируемого тела.

5 Три пути синтеза зависимостей, найденных при анализе.

6 Суть метода сил.

7 Суть метода перемещений.

8 Метод сил и условия совместности деформаций.

9 Метод перемещений и условия равновесия.

10 Поясните метод перемещений на простом примере.

11 Поясните метод сил на простом примере.

12 Поясните метод перемещений на простом примере.

13 Что такое основная система в методе сил и в методе перемещений.

14 Запишите в общем виде канонические уравнения метода перемещений, разъясните физический смысл коэффициентов и свободных членов.

15 Запишите в общем виде канонические уравнения метода сил разъясните физический смысл коэффициентов и свободных членов.

16 Поясните сущность и преимущества использования статически неопределимых основных систем в методе сил.