Устойчивость формы упругого равновесия центрально сжатого стержня

На рис. 9.2 изображен шарнирно опёртый прямой стержень, нагруженный на одном из концов силой P приложенной вдоль его оси и реакцией R = P на другом конце.

Рис. 9.2 Центрально-сжатый стержень в отклонённом неустойчивом равновесии.

В определённом диапазоне сжимающих сил 0 < P < P_кр его прямолинейная форма устойчива, т.е. будучи отклонённым от положения равновесия (пунктирная кривая) стержень после устранения возмущающей силы вернётся к исходной (прямой) форме (совершив ряд затухающих колебаний). С ростом сжимающей силы период колебаний будет возрастать и при достижении сжимающей силой т.н. критической величины P_кр стержень не вернётся в первоначальное положение (период колебаний станет бесконечно большим). Необходимо отыскать P_кр.

Существует несколько подходов к отысканию критических сил:

- статический (исторически первый - Эйлера, который его применил впервые);

- динамический (о сути которого можно догадаться, учитывая упомянутое изменение периода собственных колебаний с ростом сжимающей нагрузки);

- энергетический;

- начальных несовершенств (существующие у реальных конструкций малые отклонения от идеальных устойчивых форм растут в зависимости близкой к экспоненциальной с приближением внешней нагрузки к критической, т.е. в качестве критической принимается нагрузка, при которой резко растут деформации).

Для решения поставленной задачи применим тот подход, который применил к ней Эйлер. Вплоть до потери устойчивости (P < P_кр), стержень работает на центральное сжатие и его напряженно – деформированное состояние описывается зависимостями раздела 4.

Отклонённые неустойчивые с искривлённой осью формы равновесия соответствуют изгибу стержня, который описывается дифференциальным уравнением изогнутой оси балки (7.10):

d²w/dx² = M_y/ EI_y ,

где как следует из рис.9.2 M_y = - Pw. (9.1)

Знак минус в (7.1) обусловлен тем, что положительным моментам и, соответственно кривизнам, на расчётной схеме центрально сжатого стержня соответствуют отрицательные изгибающие моменты и наоборот. Подставляя (7.1) в (6.10) получим

d²w/dx² + k²w=0 (9.2)

- дифференциальное уравнение продольного изгиба (устойчивости) стержня, где

k=(P/EI)^0.5 (9.3)

Решение обыкновенного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (7.2)

w=Asin kx + Bcos kx, (9.4)

где постоянные интегрирования A и B находят из граничных условий, которые при данном способе закрепления концов стержня имеют вид

w(x=0) = 0; w(x=l) = 0. (9.5)

Из первого граничного условия следует, что B = 0 и

w = Asin kx (9.6)

Из второго с учётом, что в отклонённом положении A ≠ 0

sin kl = 0 откуда kl = nπ или (P/EI)^0.5 l = nπ (n=0,1,2…) или

P_n= n²π²EI/l². (9.7)

В последнем выражении n = 0 соответствуют нулевые прогиб и сжимающая сила, что не представляет интереса. Из множества отклонённых форм неустойчивого равновесия в природе реализуется форма при n = 1 соответствующая минимальному значению силы из ряда (9.7), т.е. критическая сила в задаче Эйлера

P_кр= π²EI/l². (9.8)

Соответствующая форма потери устойчивости (по одной полуволне синусоиды)

w = Asin πx/l (9.9)

Эта критическая сила найдена в предположении о малых отклонениях из уравнения (7.2) построенного в предположении линейной упругости материала (материал следует закону Гука) и носит название Эйлерова сила.

Для других случаев закрепления концов стержня (см. расчётные схемы в табл.7.1), т.е. иных граничных условий получим другие постоянные интегрирования A и B, а следовательно иные формы потери устойчивости (7.4) и значения критических (Эйлеровых) сил. Однако и в этих случаях представляется возможным из формы потери устойчивости выделить одну полуволну синусоиды, т.н. приведенную длину l_пр =ν l, (9.10)

где ν носит название коэффициент приведения длины.

Соответственно участок длиной l_пр находится в тех же условиях, что и рассмотренный выше шарнирно опёртый стержень и для него, а следовательно и для всего стержня

P_кр= π²EI / l_пр ² или P_э= π²EI/(ν l)² (9.11)

Вплоть до потери устойчивости центрально сжатый стержень испытывает чистое сжатие. Его закритическое поведение в рассмотренной постановке задачи не может быть определено. Известно лишь, что потеряв устойчивость, он через промежуточные неустойчивые формы равновесия устремится к новому устойчивому положению, которое может соответствовать его разрушению.

Таким образом пока не произошла потеря устойчивости напряжения в стержне σ = P/A и в момент потери устойчивости σ_кр = P_кр/A.

Если потеря устойчивости происходит в пределах применимости закона Гука, то имеет место (9.11) и можно записать

σ_э= π²E /λ², (9.12)

где безразмерная λ = νl / i (9.13)

т.н. гибкость стержня,

i=(I/A)^0.5 (9.14)

- радиус инерции площади поперечного сечения.