Разложение функций в степенные ряды
Пусть функция бесконечно дифференцируема в и является суммой степенного ряда:
(1) |
где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки или по степеням . Определим коэффициенты этого ряда, для чего продифференцируем раз ряд (1).
(1) |
Все ряды имеют интервалы сходимости . При из полученных тождеств получаем: , , , , …, , … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): , , , , …, , … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем
(2) |
Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции в точке . В частном случае при ряд (2) принимает вид:
(3) |
и называется рядом Маклорена.
Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции .
Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке функция . Составим для нее формально ряд Тейлора: .