2015-04-20
251Разложение функций в степенные ряды
Пусть функция 
бесконечно дифференцируема в 
и является суммой степенного ряда:
| (1) |
где –интервал сходимости ряда (1). В этом случае говорят, что функция разлагается в степенной ряд в окрестности точки 
или по степеням 
. Определим коэффициенты 
этого ряда, для чего продифференцируем 
раз ряд (1).
| (1) |
Все ряды имеют интервалы сходимости . При 
из полученных тождеств получаем: 
, 
, 
, 
, …, 
, … Отсюда находим коэффициенты степенного ряда (1): 
, 
, 
, 
, …, 
, … Подставляем полученные значения коэффициентов в ряд (1), получаем
| (2) |
Ряд (2) называется рядом Тейлора для функции 
в точке . В частном случае при 
ряд (2) принимает вид:
| (3) |
и называется рядом Маклорена.
Таким образом, если функция является суммой степенного ряда, то этот ряд называется рядом Тейлора для функции .
Пусть теперь дана бесконечно дифференцируемая в точке функция . Составим для нее формально ряд Тейлора: 
.
