Степенной ряд. Область сходимости
Определение
Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:
Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x 0), то есть ряд вида
где x 0 − действительное число.
Интервал и радиус сходимости
Рассмотрим функцию  . Ее областью определения является множество тех значений x,
при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называется
радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно. Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
|
| Пример 1
|
Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  .
Решение.
Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид  . Вычислим радиус сходимости:
Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).
Область сходимости
Область сходимости, множество значений переменного х, для которых функциональный ряд
 сходится. Весьма простую форму О. с. имеет для степенных рядов. Если рассматривать их для действительных значений аргумента, то О. с. состоит либо из одной точки, либо является некоторым интервалом (см. Интервал сходимости), к которому могут присоединяться и его концевые точки (одна или обе), либо, наконец, совпадает со всей осью Ox. Если же рассматривать и комплексные значения аргумента, то О. с. степенного ряда состоит либо из одной точки, либо из внутренности некоторого круга (круга сходимости), к которой могут присоединяться также точки окружности этого круга, либо из всей плоскости комплексного аргумента. Ряды других видов могут иметь более сложные О. с. Например, для рядов поЛежандра многочленам в комплексной области О. с. является внутренность эллипса с фокусами в точках —1 и 1.
О. с. определяется также и для других видов предельных процессов. Так, под О. с. несобственного интеграла, зависящего от параметра, понимают множество значений этого параметра, при которых данный несобственный интеграл сходится.
|
2015-04-20
1017
