2015-04-30
6635
Метод центра тяжести
Одним из ключевых факторов, определяющих экономическую и технологическую эффективность складского комплекса является его местоположение относительно расположения поставщиков и заказчиков продукции, идущей через склад. Местоположение склада сказывается на таких показателях, как транспортные расходы, арендная земельная плата, а также объем продаж, поскольку в некоторых случаях местоположение дистрибьютера или компании-производителя влияет на выбор покупателя.
В тех случаях, когда в качестве главного критерия оптимизации местоположения складского комплекса выбирается минимум суммарных транспортных затрат, для решения данной задачи может использоваться метод центра тяжести. Постановка задачи, решаемую методом центра тяжести, схематично представлена на следующем рисунке (см. выше).
На рисунке обозначено несколько объектов: поставщики, заказчики и в центре – складской комплекс. Стрелками указано направление грузовых потоков. Географическое расположение объектов представлено в декартовой прямоугольной системе координат, причем координаты поставщиков и получателей известны, а координаты оптовой базы остаются неизвестными. Требуется найти оптимальные значения величин x0, y0, при которых суммарные годовые затраты на транспортировку грузов в рассматриваемой системе будут минимальными. Транспортные затраты рассчитываются как произведение следующих величин: объем грузопотока, т/год; расстояние между поставщиком/заказчиком и складским комплексом, км; транспортный тариф, руб/ткм.
|
|
|
Единица измерения «руб/ткм» означает «рубль на тонно-километр», то есть во сколько обходится транспортной организации перемещение одной тонны груза на один километр.
Пример. Известны следующие исходные данные:
| № п/п | Объект | Объем грузопотока, т/год | Тариф, руб/ткм | Координаты | |
| x | y | ||||
| A | |||||
| B | 8,5 | ||||
| C | 8,5 | ||||
| D | |||||
| E |
Введем следующие условные обозначения: n – количество поставщиков и заказчиков; qi – объем грузопотока i-го поставщика/заказчика, т/год; ri – транспортный тариф i-го поставщика/заказчика, руб/ткм; xi, yi – координаты i-го поставщика/заказчика; x0, y0 – координаты складского комплекса; d0i – расстояние между складским комплексом и i-м поставщиком/заказчиком.
Требуется определить оптимальные значения величин x0, y0, при которых будет выполняться следующее условие:
,
где TC (Total Cost) – суммарные затраты на транспортировку, руб/год.
Нахождение оптимальных координат x0, y0 осуществляется с помощью итерационного сходящегося алгоритма. Количество итераций определяется требованиями к степени точности получаемого решения.
|
|
|
Алгоритм решения задачи методом центра тяжести
Шаг 0. Начальный расчет величин x0, y0:
; 
.
На основании расчетов, приведенных в таблице 2, определяем начальные значения координат оптовой базы: x0 = 6792000/135000 = 50,3; y0 = 7962000/135000 = 59,0.
| № п/п | Объект | xiqiri | yiqiri | qiri |
| A | 437 500 | 1 365 000 | 17 500 | |
| B | 340 000 | 1 156 000 | 34 000 | |
| C | 3 672 000 | 4 488 000 | 51 000 | |
| D | 977 500 | 575 000 | 11 500 | |
| E | 1 365 000 | 378 000 | 21 000 | |
| Сумма | 6 792 000 | 7 962 000 | 135 000 |
Шаг 1. Расчет расстояний между складским комплексом и множеством поставщиков/заказчиков (см. таблицу, графа 3):
Шаг 2. Расчет суммарных затрат на транспортировку (см. таблицу, графа 4):
Шаг 3. Повторный расчет координат оптовой базы (см. таблицу, графы 5-7):
; 
.
| № п/п | Объект | d0i | qirid0i | xiqiri/d0i | yiqiri/d0i | qiri/d0i |
| A | 31,7 | 554 089 | 13 817,7 | 43 111,3 | 552,7 | |
| B | 47,4 | 1 612 358 | 7 169,6 | 24 376,7 | 717,0 | |
| C | 36,2 | 1 847 789 | 101 349,2 | 123 871,3 | 1 407,6 | |
| D | 35,8 | 412 066 | 27 280,2 | 16 047,2 | 320,9 | |
| E | 43,5 | 914 149 | 31 357,0 | 8 683,5 | 482,4 | |
| Сумма | – | 5 340 452 | 180 973,8 | 216 089,9 | 3 480,7 |
В соответствии с проведенными вычислениями, определяем новые координаты оптовой базы: x0 = 180973,8/3480,7 = 52,0; y0 = 216089,9/3480,7 = 62,1. Отметим также, что при старых координатах оптовой базы (50,3; 59,0) суммарные затраты на транспортировку, согласно табл. 3., составляют: TC = 5340452 руб/год.
Шаг 4. Повторять шаги 1, 2 и 3 до тех пор, пока суммарные транспортные затраты TC не перестанут изменяться на значимую величину.
Результаты выполнения шага 4 представлены в следующей таблице:
| Номер итерации | Координаты | TC | Номер итерации | Координаты | TC | ||
| xo | yo | xo | yo | ||||
| 50,3 | 59,0 | 5 340 452 | 55,8 | 66,6 | 5 279 939 | ||
| 52,0 | 62,1 | 5 305 197 | 56,0 | 66,8 | 5 279 773 | ||
| 53,3 | 63,8 | 5 291 233 | 56,1 | 66,9 | 5 279 689 | ||
| 54,2 | 64,9 | 5 285 120 | 56,2 | 67,0 | 5 279 646 | ||
| 54,8 | 65,6 | 5 282 289 | … | … | … | … | |
| 55,3 | 66,1 | 5 280 933 | 56,3 | 67,2 | 5 279 601 | ||
| 55,6 | 66,4 | 5 280 269 |
Как хорошо видно в данной таблице, уже на первых десяти итерациях можно получить достаточно точные значения координат оптовой базы, которые дают вполне приемлемые результаты по величине суммарных транспортных затрат TC. Выполнение дальнейших итераций (в данном случае, для сравнения, представлена сразу 100-я итерация) незначительно влияет на конечный результат. Это говорит о том, что уже на первых нескольких итерациях можно прекратить дальнейшие вычисления.
Методы сглаженного расчета расстояний
В логистике часто приходится проводить расчеты, где приходится оценивать расстояния между географическими пунктами. Эти данные используются для выбора местоположения склада, оценки величины транспортных затрат, формирования системы ценообразования и прочих целей. Рассмотрим некоторые модели и инструменты, которые позволяют получить сглаженную, т.е. приблизительную оценку между пунктами.
Декартова прямоугольная система координат
Декартова прямоугольная система координат задается двумя перпендикулярно расположенными осями – осью абсцисс (Ox) и осью ординат (Oy). Точка пересечения этих осей называется началом координат (O). Оси ориентированы в пространстве и взяты с определенным масштабом. Это значит, что расстояние от начала координат до любой точки на оси абсцисс или ординат исчисляются в определенных единицах измерения, например, в километрах.
Координатами точки, помещенной в декартову систему, называется проекция этой точки на оси абсцисс и ординат. Они так и называются, например, абсцисса и ордината точки P. Запись P(x,y) означает, что точка P имеет абсциссу x и ординату y. Абсцисса и ордината точки может быть положительной и отрицательной в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P. На рисунке … представлены только две полуоси абсцисс и ординат, которые имеют положительное значение.
|
|
|
Расстояние между объектами в пространстве, обозначенные в декартовой системе координат точками A(xA, yA) и B(xB, yB), рассчитывается по следующей формуле:
где K – поправочный коэффициент, учитывающий «кривизну» дорог.
Согласно сведениям, приводимым американскими специалистами, значение этого коэффициента в среднем для США составляет K = 1,17.
 |
В некоторых случаях применяется другая формула, которая для городского пространства более точно учитывает расстояние между объектами:
где p – аппроксимирующий коэффициент, значение которого определяется эмпирическим путем.
Для среднестатистического города США значение коэффициентов в приведенной формуле составляет K = 1,15 и p = 1,78.
Полярная система координат
Полярная система координат задается полюсом (О), который является началом координат, и ориентированной полуосью (полярной осью), берущей свое начало из точки О (полюса). Полярными координатами точки P называются радиус-вектор r – расстояние от точки P до точки О (полюса), и полярный угол j – угол между полярной осью и прямой OP. Поляр 
ный угол считается положительным при отсчете от полярной оси по часовой стрелке, и отрицательным при отсчете против часовой стрелки.
 |
Расстояние между объектами в пространстве, обозначенные в полярной системе координат точками A(rA, jA) и B(rB, jB), рассчитывается по следующей формуле:
Переход от декартовых координат к полярным и обратно выполняется по следующим формулам, если принять начало координат за полюс, а ось абсцисс за полярную ось:
 |
x = r cos j, y = r sin j
Использование полярных координат целесообразно только в некоторых случаях. Так, например, при работе с электронно-справочной картой Санкт-Петербурга, разработанной фирмой «ИНГИТ», координаты объектов можно определяются только в полярной системе координат. Карта охватывает городскую зону Санкт-Петербурга и ряд пригородов. Полярная ось в этом программном продукте всегда ориентирована строго на север, а положение полюса пользователь можно задать самостоятельно. Радиус-вектор и полярный угол объекта высвечиваются в правом верхнем углу карты при совмещении курсора с местоположением объекта.
|
|
|
Пример. С помощью электронно-справочной карты автодорожной карты Санкт-Петербурга (ИНГИТ, вер. 3.0, 1995) определим полярные координаты двух точек – пл. Александра Невского и стрелка Васильевского острова. Полюс совпадает с местоположением Петропавловского собора, полярная ось ориентирована строго на север. Получаем следующие значения:
| Пункт | Наименование | Радиус-вектор | Полярный угол |
| А | Пл. Александра Невского | 4060 м | 127° 48¢ |
| В | Стрелка Васильевского острова | 964 м | 219° 10¢ |
Для вычисления расстояния значения полярного угла следует перевести из градус в радианы. Значение радиана: 180 / p» 57,3. Получаем:
jA = 127° 48¢ ® jA = (127 + 48/60) /57,3 = 127,8 / 57,3 = 2,2304
jВ = 219° 10¢® jВ = (219 + 10/60) /57,3 = 219,17 / 57,3 = 3,8249
Далее рассчитываем расстояние между точками А и В, используя для Санкт-Петербурга поправочный коэффициент K = 1,24:
dAB = 1,24 ´ (40602 + 9642 – 2 ´ 4060 ´ 964 ´ cos (2,2304 – 3,8249))0,5 = 5202 м
По электронной карте расстояние от пл. Александра Невского до стрелки В.О. (при движении по Невскому проспекту) составляет 5200 м. Погрешность в расчетах составляет 4%.
Задача 10. По электронно-справочной карте и автодорожной Санкт-Петербурга (ИНГИТ, версия 3.0, 1995) получаем полярные координаты следующих точек:
| Пункт | Наименование | Радиус-вектор | Полярный угол |
| А | Пл. Александра Невского | 4060 м | 127° 48¢ |
| В | Стрелка Васильевского острова | 964 м | 219° 10¢ |
| С | Пл. Ленина | 2240 м | 75° 39¢ |
| D | Черная речка | 4100 м | 348° 00¢ |
Определить расстояния между указанными точками, используя формулы расчета расстояний в полярной и декартовой системе координат. Для расчетов в декартовой системе следует воспользоваться формулами перевода полярных координат в декартовые прямоугольные координаты. В качестве поправочного коэффициента использовать значение K = 1,24. Сравнить полученные результаты с данными, полученными в ходе расчетов длины маршрутов по электронной карте:
| A | |||
| 5220 | B | ||
| 5200 | 4250 | C | |
| 9400 | 5950 | 5500 | D |
Возьмите автодорожный атлас Санкт-Петербурга и постарайтесь найти объяснение, почему погрешность при оценке расстояний пункта C так сильно отличается от погрешности в оценке расстояний других пунктов.
Сферическая система координат
Сферическая система координат позволяет определить положение точки в пространстве с помощью трех координат: r – длина радиуса-вектора, w – долгота, u – широта. Положительные направления отсчета показаны на рисунке …. На этом рисунке изображена точка P, которая расположена на поверхности сферы с радиусом r. Запись P(w,u) означает, что точка P имеет долготу w и широту u.
Пределы, в которых могут изменяться сферические координаты: 0 £ r < ∞, –p £ w £ p, –p/2 £ u £ p/2. Изменяя сферические координаты в этих пределах, можно охватить все точки пространства.
Теперь рассмотрим задачу, когда надо найти кратчайшее расстояние между точками A(wA, uA) и B(wB, uB), расположенных на поверхности сферы с радиусом r, при условии, что движение от точки А до точки В возможно только по поверхности сферы. Расчет расстояния производится по формуле:
dAB = K ´ r ´ arccos (sin uA ´ sin uB + cos uA ´ cos uB ´ cos |wA–wB|)
где K – коэффициент, учитывающий «кривизну» дорог, r – радиус-вектор (радиус Земли), u и w – широта и долгота точек А и В.
Пример. Допустим, что в точке А (55°45¢, 37°30¢) располагается Москва, а в точке В (60° 00¢, 30° 30¢) – Санкт-Петербург. Требуется определить кратчайшее сферическое расстояние между этими двумя точками.
Координаты точек А и В заданы в градусах. Для расчета расстояния dAB требуется перевести эти значения в радианы (значение радиана: 180 / p» 57,3):
uA = 55° 45¢ ´ 180 / p = 55,75 / 57,3 = 0,9729; wA = 37° 30¢ ´ 180 / p = 37,5 / 57,3 = 0,6545; uB = 60° 00¢ ´ 180 / p = 60,0 / 57,3 = 1,0471; wB = 30° 30¢ ´ 180 / p = 30,5 / 57,3 = 0,5323.
Средний радиус Земли составляет r = 6371,032 км. Поправочный коэффициент примем как в США: K = 1,17. Расчет производим по выше приведенной формуле:
dAB = 1,17 ´ 6371 ´ arccos (sin 0,9729 ´ sin 1,0471 + cos 0,9729 ´ cos 1,0471 ´ cos |0,6545–0,5323|) = 1,17´6371´arccos(0,8265´0,8660+0,5629´0,5001´0,9925) = 734,22 км
В дорожных атласах указывается, что расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга по трассе М10 составляет 704 км. Таким образом, погрешность в расчетах составила (734 – 704) / 704 ´ 100% = 4,3%.
Планировка складских помещений
Основные помещения и технологические зоны склада
Решение проблемы выбора местоположения складского комплекса позволяет перейти к решению следующего вопроса – расчет оптимальной площади склада и планировка складских помещений. На следующем рисунке представлена общая схема распределительного склада с железнодорожными и автомобильными подъездными путями, на которой указаны основные виды помещений и технологические зоны склада (см. рисунок «Схема распределительного склада»).
Планировка складских помещений может существенно варьироваться в зависимости от вида и предназначения склада, хранимой на нем продукции, особенностей складских технологических процессов, типовой схемой движения грузопотоков на складе и других факторов. Однако при любой планировке на складе можно выделить следующие основные помещения и технологические зоны:
Помещения основного производственного назначения (или основные помещения) используются как для хранения продукции, так и для выполнения целого ряда складских операций.
Рампа представляет собой платформу, специально оборудованную для проведения погрузочно-разгрузочных работ с определенными видами транспорта. Так, на представленной схеме на железнодорожной рампе производится разгрузка подаваемых железнодорожных вагонов, а на автомобильной рампе погрузка на грузовые автотранспортные средства укомплектованных партий отправки.
Приемочная экспедиция используется для кратковременного хранения грузов, прибывающих вне рабочего времени склада, например, в праздники, выходные или ночные часы. Отправочная экспедиция предназначается для временного хранения грузовых партий отправки, ожидающих подачи транспортного средства для проведения погрузочных операций.
Участок приемки предназначается для проверки поступающей продукции по количеству и качеству. На участке комплектования осуществляется комплектование грузовых партий отправки в соответствии с поступающими потребительскими заказами.
Зона хранения – основная технологическая зона склада, которая оборудована универсальным или специальным оборудованием для хранения товаров. Товары в эту зону поступают из приемочной экспедиции, участка приемки или непосредственно с железнодорожной рампы. Они размещаются на стеллажах или в другом складском оборудовании, и оттуда впоследствии поступают уже на участок комплектования, в отправочную экспедицию или непосредственно на автомобильную рампу для отправки покупателям. Внутри зоны хранения могут быть выделены отдельные внутренние зоны для хранения определенных групп товаров (продовольственных, промышленных, хозяйственных и пр.), а также зоны со специализированным оборудованием (например, холодильники для хранения скоропортящейся продукции).
Вспомогательные помещения предназначаются для хранения поддонов, порожних контейнеров, складской тары. В этих же помещениях может производиться ремонт поврежденной в процессе оборота тары.
В подсобно-технических помещениях располагаются машинные отделения, вентиляционные камеры, ремонтные мастерские, кладовые, подзарядные аккумуляторные станции и пр.
Наконец, административно-бытовые помещения включают в себя офисы, конторские помещения, места отдыха и приема пищи.
Рисунок «Схема распределительного склада»
