Задание 5. Решение задач прикладного характера на определение экстремальных значений функций - 1ч

Цель: формирование умения находить экстремальные значения функции при решении задач прикладного характера.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

& 5.1.Повторите алгоритм решения прикладных задач на нахождение наибольшего или наименьшего значения функции.

?5.2. Из куска проволоки длиной 80 см согнуть прямоугольник, чтобы его площадь была наибольшей.

?5.3. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр фигуры равен 6м. Каковы должны быть размеры окна, чтобы окно пропускало наибольшее количество света?

! 5.4. Над центром круглого стола радиусом 50 см висит лампа. На какой высоте h следует повесить эту лампу, чтобы на краях стола получить наибольшую освещенность?

Методические указания по выполнению работы:

Необходимый теоретический материал:

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Во многих геометрических, физических и технических задачах требуется найти наибольшее или наименьшее значение величины. Многие задачи, поиска оптимальных решений, могут быть решены с использованием методов дифференциального исчисления. Для решения такой прикладной задачи необходимо усвоить следующий алгоритм:

1. Исходя из условия задачи, выбрать независимую переменную.
2. Выразить исследуемую величину через введенную переменную, т.е. составить функцию.
3. Найти наибольшее или наименьшее значение функции, используя производную.
4. Записать ответ, учитывая условия задачи.

Пример 1. Каким должен быть прямоугольный участок земли, отгороженный с трех сторон (четвертая сторона — естественная преграда, например, река) изгородью, длиной 100 м, чтобы площадь его была максимальной.

Решение. Требуется найти длины сторон прямоугольника, исходя из общей длины трех сторон — 100 м.

1. Обозначим стороны прямоугольника х и у,тогда 2х+у=100, у=100-2х, .
2. Известно, что площадь прямоугольника S=xy. Получим: S(x)=x(100-2x). Имеем функцию S от одной переменной x.
3. , , , , . Эта точкам является критической. На числовой оси отметим критическую точку . Исследуем знаки производной слева и справа от критической точки:

, у=100-2х=100-50=50.

Ответ: максимальную площадь имеет участок квадратной формы со стороной 50 м.

Список литературы:

1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010.- глава 8, § 1, стр. 111.

3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 часть. – М.: Айрис-пресс, 2004. – 288 с. – Глава 5, §25, стр. 175-176.