2015-04-20
3242
Цель: формирование умения находить неопределённые интегралы методом непосредственного интегрирования и методом подстановки
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
& 6.1. Выучите определение первообразной функции, неопределенного интеграла и его свойства. Подготовьте таблицу неопределённых интегралов.
Выучите алгоритмы раскрытия неопределенностей вида 
и 
.
?6.2. Найдите интегралы методом непосредственного интегрирования:
а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; е) 
.
Методические указания по выполнению работы:
Напоминаем, что интегрировать, значит, находить первоначальной образ функции F(x) по известной производной f(x).
Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (а;b), если для всех x из этого промежутка верно: F'(x) = f(x).
Неопределённым интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных для функции f(x) и обозначается символом 
, т.е. = F(x) + C.
Свойства неопределенного интеграла:
1. 
k- const, k 
0;
2. 
.
Первый метод – метод непосредственного интегрирования.
Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Основные формулы интегрирования:
1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  | 10.  11.  , а – const 12.  13.  14.  , а – const 15.  16.  17.  |
Пример 1. Найдите 
.
Решение.
Применим свойство 2: = 
.
Применим свойство 1: 
и воспользуемся табличными интегралами. Получим, что = 
= 
.
Ответ: = .
Пример 2. Найдите 
.
Решение. Применим свойства степени: а-п = 
; 
.
Тогда = 
.
Применим свойства интеграла: 
.
Ответ: = 
.
Пример 3. Найдите .
Решение. применяем свойства и табличные интегралы:
= 
= 
.
Ответ: = .
& 6.3. Разберите алгоритм нахождения неопределённого интеграла методом подстановки.
? 6.4. Найдите интегралы методом замены переменной (подстановки):
а) 
; б) 
; в) 
.
Методические указания по выполнению работы:
Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.
Пусть требуется вычислить интеграл 
. Сделаем подстановку 
где 
— функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда 
и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
· Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:
Рассмотрим нахождение интеграла от некоторых сложных функций на примерах.
Пример 1. Найдите 
.
Решение. 
Ответ: = 
Пример 2. Найдите 
.
Решение. 
Список литературы:
1. Богомолов Н.В. Сергиенко Л.Ю. Сборник дидактических заданий по математике: Учебное пособие для ссузов Изд. 3-е,стереотип. Дрофа 2010 – Глава 6, § 1, стр. 76-80.
2. Валуцэ И.И. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие. / И.И. Валуцэ, Г.Д. Дилигул.– 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука, 1989. – 576 с. – Глава 6, § 31, стр. 188-198.
3. Лисичкин В.Т. Математика: учеб. пособие для техникумов / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. – М.: Высш. школа, 1991. – 480 с. – Глава 4, §2, стр. 182 – 192.
