Вопрос 3.Решение нелинейных уравнений. Графический метод

При решении уравнения F(x) = 0 прежде всего важно предварительно изучить расположение корней и заключить каждый корень в малую область, содержащую только один корень. Эту операцию удобно выполнять с использованием пакета MathCAD

(Лабораторная работа №2).

Для этой цели часто применяют графические методы. Если требуется найти только действительные корни уравнения, то для отыскания грубых значений корней можно построить график функции F(x) = 0 и найти абсциссы точек пересечения графика с осью X. Эти приближенные значения точек пересечения графика функции с осью X и принимают за начальные приближения к корням уравнения.

Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом они легко отделяются.

Например

Иногда удобно представить уравнение F(x) = 0 в виде F1(x) = F2(x) и затем, построив графики функций y1 = F1(x) и y2 = F2(x), найти абсциссы точек пересечения, которые и будут приближенными значениями корней.

Например

Корни уравнения симметричны относительно X=0. Поэтому мы можем рассматривать только положительные корни.

Значения x₁, x₂, x₃ и еще нескольких корней можно довольно точно определить графически. Но на графике не будет x_n для больших значений n. Значения x_n при больших n будут близки к πn.

Эти значения можно уточнить.

Пусть ,

где ε_n – некоторые небольшие добавки.

Тогда

Т.к. очень мало, то можно принять и

и .

В результате получим улучшенное значение корня

Преимущества графического метода решения – удобство и простота. Недостаток – данный метод применим только для грубого отделения корня.