Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема Коши. Задача Коши. Общее и частное решение, интегральная кривая.

2. Уравнения с разделяющимися переменными.

3. Решение уравнений вида .

4. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Теорема об общем решении однородного уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского.

5. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

6. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка при условии, что характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня.

7. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка при условии, что характеристическое уравнение имеет кратный корень.

8. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами второго порядка при условии, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни.

9. Общее решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами высшего порядка (n >2).

10. Линейные дифференциальные уравнения. Теорема об общем решении неоднородного уравнения. Теорема наложения.

11. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть имеет вид .

12. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть – многочлен n степени.

13. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть имеет вид .

14. Нахождение частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения при условии, что правая часть имеет вид .

15. Системы дифференциальных уравнении. Сведение системы двух дифференциальных уравнений к одному уравнению второго порядка.

Ряды.

1. Числовые ряды. Геометрическая прогрессия. Необходимый признак сходимости. Свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Признак Лейбница.

4. Функциональные и степенные ряды. Ряды Маклорена и Тейлора. Разложение функций в степенные ряды и их применение.

Задачи

1. Построить линии уровня функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Построить линии уровня функции .

4. Построить линии уровня функции .

5. Построить линии уровня функции .

6. Построить линии уровня и градиент функции в точке (1,1).

7. Посчитать частные производные функции второго порядка функции .

8. Посчитать частные производные первого порядка функции

9. Найти производную функции, заданной неявно

10. Найти точки экстремума функций

11. Найти экстремум функции при условии .

12. Найти экстремум функции при условии

13. Найти экстремум функции при условии . Решить задачу с помощью функции Лагранжа. Дать графическую интерпретацию полученного решения.

14. Найти экстремум функции при условии

Изобразить на плоскости условие и линии уровня функции в точках экстремума..

15. Производственная функция фирмы . Цены ресурсов . Найти наибольший выпуск продукции и спрос на ресурсы при издержках .

16. Производственная функция фирмы . Цены ресурсов . Фирма должна по договору обеспечить поставку 1000 ед. продукции. Найти минимальные издержки фирмы и спрос на ресурсы .