2015-04-30
899
Определение
Число A называется пределом последовательности 
, если для любого положительного числа 
существует такой номер N, что для всех n>N 
, т.е. 
.
Утверждение
Если последовательность имеет предел 
, то существует подпоследовательность 
, имеющая предел 
.
Необходимость 
- автоматически, обозначив 
.
Достаточность 
. Рассмотрим последовательность 
. Для данной последовательности можно записать, что 
, т.е. так как эта последовательность возрастает, то для любого N найдется такое K, что для любого номера k>K значение 
будет больше N. То, что последовательность имеет предел, запишем так: 
. В то же время 
, значит, 
, т.е. .
