2015-04-30
6485
На начальном этапе не рекомендую особо заглядывать в учебник по математическому анализу, да и в собственные записи тоже. Хотя давайте немного причастимся:
Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете?
Из курса алгебры нам известны следующие обозначения:
– квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись 
следует прочитать «для любого положительного эпсилон»;
– квантор существования, 
– существует значение 
, принадлежащее множеству натуральных чисел.
– длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»;
– для всех «эн», бОльших чем ;
– знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями 
меньше эпсилон.
Определение предела последовательности
И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности».
Хорошо, распишем последовательность: 
Нетрудно уловить, что подпоследовательность 
бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами 
– к «единице».
А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный.
Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел.
Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде 
(чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение.
Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности 
половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, 
«мигалка» вообще принимает два фиксированных значения.
Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию.
Рассмотрим некоторую точку 
и её произвольную 
-окрестность:
Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности 
. Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками 
и должно быть меньше «эпсилон»: 
. Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: 
.
Определение: число называется пределом последовательности, если для любой его окрестности 
(заранее выбранной) существует натуральный номер 
– ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими номерам 
окажутся внутри окрестности: 
Или короче: 
, если
Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности.
Так, например, «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки 
Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой.
Следует отметить, что для последовательности 
уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как 
тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число 
её пределом.
Теперь покажем, что у последовательности 
не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность 
точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке 
.
Пример 1
Доказать что предел последовательности 
равен нулю. Указать номер 
, после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки .
Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение .
Решение: рассмотрим произвольную -окрестность точки и проверим, найдётся ли номер 
– такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами 
окажутся внутри этой окрестности:
Чтобы показать существование искомого номера 
, выразим 
через .
Так как при любом значении «эн» 
, то знак модуля можно убрать:
Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны:
Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить: 
Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если 
и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону 
, то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству.
А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу.
Вывод: для любой сколько угодно малой -окрестности точки нашлось значение 
, такое, что для всех бОльших номеров 
выполнено неравенство 
. Таким образом, число является пределом последовательности по определению. Что и требовалось доказать.
К слову, из полученного результата хорошо просматривается естественная закономерность: чем меньше -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов.
