Физический смысл производной

Если точка движется вдоль оси х и ее координата изменяется по закону x(t), то мгновенная скорость точки:

26.) Производная сложной функции. Производная обратных функций. Производные элементарных функции (вывод)

Пусть у = f(и) и u = φ(х) - тогда у = f(φ{x)) — сложная функция с промежуточным аргументом и н независимым аргументом х.

По условию Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

или где .
Функция u = φ(х) имеет производную в точке х: , поэтому
Подставив значение Δ и в равенство (20.6), получим
т.е. Разделив полученное равенство на Δ х и перейдя к пределу при Δ х→ 0, получим
Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у = f(u), u = φ(v), v = g{х), то Пусть у = f(x) и х = φ(y) — взаимно обратные функции.
Рассмотрим обратную функцию х = φ(y). Дадим аргументу у приращение Δ у ≠ 0. Ему соответствует приращение Δ х обратной функции, причем Δ х ≠ 0 в силу строгой монотонности функции у = f(x). Поэтому можно записать Если Δ y→ 0, то в силу непрерывности обратной функции приращение Δ х→ 0. И так как , то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
Пример 1. Найти производную функции
Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: , где , где z = tg q, где q =. . По правилу дифференцирования сложной функции ( )получаем:
Пример 2. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции
Решение: Обратная функция имеет производную . Следовательно,

Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные.

Итак, производные элементарных функций:

Название	Функция	Производная
Константа	f (x) = C, C ∈ R	0 (да-да, ноль!)
Степень с рациональным показателем	f (x) = x ⁿ	n · x ⁿ ^{− 1}
Синус	f (x) = sin x	cos x
Косинус	f (x) = cos x	− sin x (минус синус)
Тангенс	f (x) = tg x	1/cos² x
Котангенс	f (x) = ctg x	− 1/sin² x
Натуральный логарифм	f (x) = ln x	1/ x
Произвольный логарифм	f (x) = log _a x	1/(x · ln a)
Показательная функция	f (x) = e ^x	e ^x (ничего не изменилось)

Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:

(C · f)’ = C · f ’.

В общем, константы можно выносить за знак производной. Например:

(2 x ³)’ = 2 · (x ³)’ = 2 · 3 x ² = 6 x ².

Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже.

27.) Теорема Ролля. Теорема Ферма.27+ 28+

Теорема Ролля. (О нуле производной функции, принимающей на концах отрезка равные значения)

Пусть функция