Задачи для самостоятельного решения. 1. Найти значение коэффициента C и плотность распределения f(x) случайной величины X,функция распределения которой имеет вид

1. Найти значение коэффициента C и плотность распределения f (x) случайной величины X,функция распределения которой имеет вид:

Ответ: C = 1;

2. Найти вероятность того, что значение случайной величины X принадлежит интервалу (2; 3), если плотность распределения величины X задана функцией:

Ответ: 0,2.

3. Найти плотность распределения f (x) случайной величины Х, функция распределения которой имеет вид:

Какова вероятность того, что значение случайной величины X принадлежит интервалу (0,5; 1)?

Ответ: P = 0,5.

4. Найти интегральную функцию распределения F (x) и оценить вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал (0,5; 1,5), если плотность распределения величины X имеет вид:

Построить графики функций f (x) и F (x).

Ответ: P (0,5 < Х < 1,5) = 0,375.

2.5. Числовые характеристики непрерывных
случайных величин

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X определяется по следующей формуле:

, (57)

где .

Дисперсия непрерывной случайной величины X:

, (58)

где .

Все свойства M (X) и D (X), указанные выше в п. 2.3 для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин.

Начальный момент порядка k непрерывной случайной величины X вычисляется по формуле

. (59)

Центральный момент порядка k непрерывной случайной величины X, определяется равенством:

. (60)

Если все возможные значения X принадлежат интервалу (a; b), то

; (61)

. (62)

Пример 2.15. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, которая задана дифференцированной функцией f (x) = 2 x в интервале (0; 1), вне его f (x) = 0.

Решение. .

Пример 2.16. Найти математическое ожидание и начальный момент второго порядка случайной величины X, заданной интегральной функцией:

Решение. Найдем дифференциальную функцию X:

Используя формулу (61) рассчитаем математическое ожидание: .

По формуле (60) найдем начальный момент второго порядка:

Пример 2.17. Случайная величина X задана интегральной функцией распределения:

Необходимо выполнить следующее:

1. Найти плотность вероятности (дифференциальную функцию).

2. Вычислить математическое ожидание и дисперсию X.

3. Найти вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,5).

4. Построить графики функций F (x) и f (x).

Решение.

1. Найдем функцию плотности вероятности случайной величины X. Согласно формуле (51) плотность вероятности f (x) равна

2. Вычислим математическое ожидание используя формулу (61):

.

Дисперсию величины X рассчитаем по формуле (58):

3. Согласно формуле (55) вероятность того, что случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (0,25; 0,5) будет равна: .

4. Построим графики функций F (x) и f (x). Графики функций F (x) и f (x) отражены на рис. 2.5 и 2.6.

Рис. 2.5. График интегральной функции

Рис. 2.6. График дифференциальной функции