III. Достаточное условие дифференцируемости

Теорема. Пусть функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы:

1. В окрестности точки она имеет частные производные .

2. В самой точке частные производные непрерывны.

Тогда дифференцируема в точке .

Доказательство. В силу условий теоремы справедлива формула (4) для полного приращения :

.

Для того, чтобы придти к представлению (2), входящему в определение дифференцируемости, положим

.

Остается убедиться, что функция является бесконечно малой более высокого порядка, чем . Имеем

;

при этом

и по свойствам бесконечно малых: при . ▄