I. Понятие дифференцируемости

Напомним, что для функции одной переменной дифференцируемость в точке по определению означает существование конечного предела

.

Необходимым и достаточным условием для этого является возможность представления приращения в точке в виде:

, (1)

где является бесконечно-малой величиной; при этом является, как функция переменной , бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем [4].

В случае функции нескольких переменных в основу понятия дифференцируемости кладется условие, аналогичное (1).

Итак, пусть функция определена в окрестности точки .

Определение. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке , как функция аргументов и , представимо в виде:

, (2)

где функция является при бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем (рис. 9).

В этом случае выражение , являющееся линейной функцией аргументов и , называется полным дифференциалом функции в точке .

Из дифференцируемости функции в точке следует ее непрерывность в этой точке

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные, и коэффициенты и в формуле (2) равны их значениям:

.

Доказательство. Положим в формуле (2) и устремим к нулю. При этом становится частным приращением , и (2) принимает вид:

,

откуда

, (3)

причем

,

так что в соответствии с условием на и ввиду ограниченности величины :

Переходя в равенстве к пределу при , получаем: .

Аналогично устанавливается равенство . ▄

Таким образом, полный дифференциал имеет вид:

.

Из формулы (2) следует, что при малых по модулю и имеет место приближенное равенство полного приращения и полного дифференциала, которые отличаются на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем и .