2015-05-14
2431
Напомним, что для функции одной переменной 
дифференцируемость в точке 
по определению означает существование конечного предела
.
Необходимым и достаточным условием для этого является возможность представления приращения 
в точке в виде:
, (1)
где 
является бесконечно-малой величиной; при этом 
является, как функция переменной 
, бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем [4].
В случае функции нескольких переменных в основу понятия дифференцируемости кладется условие, аналогичное (1).
Итак, пусть функция 
определена в окрестности точки 
.
Определение. Функция 
называется дифференцируемой в точке 
, если ее полное приращение в этой точке 
, как функция аргументов и , представимо в виде:
, (2)
где функция 
является при 
бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем 
(рис. 9).
В этом случае выражение 
, являющееся линейной функцией аргументов и , называется полным дифференциалом функции в точке .
 |
Замечание. Из дифференцируемости функции
в точке следует ее непрерывность в этой точке, поскольку из (2) следует: 
.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные, и коэффициенты 
и 
в формуле (2) равны их значениям:
.
Доказательство. Положим в формуле (2) 
и устремим к нулю. При этом становится частным приращением 
, и (2) принимает вид:
,
откуда
, (3)
причем
,
так что в соответствии с условием на 
и ввиду ограниченности величины 
:
Переходя в равенстве к пределу при 
, получаем: 
.
Аналогично устанавливается равенство 
. ▄
Таким образом, полный дифференциал имеет вид:
.
Из формулы (2) следует, что при малых по модулю и имеет место приближенное равенство полного приращения и полного дифференциала, которые отличаются на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем 
и .
