2015-05-14
4240
Пусть в области 
задана функция двух переменных:
, (6)
у которой переменные 
и 
в свою очередь являются функциями переменных 
и 
:
, (7)
заданными в области 
.
Тогда 
является сложной функцией независимых переменных и с промежуточными переменными и :
. (8)
Рассмотрим задачу нахождения частных производных 
этой сложной функции без использования явной записи (8).
Пусть точка 
, и функции 
и 
, согласно уравнениям (7), переводят ее в точку 
:
.
Теорема. Пусть выполняются три условия:
1. В окрестности точки 
существуют частные производные 
, непрерывные в самой точке .
2. В точке 
существуют частные производные 
.
3. Функции 
непрерывны в точке .
Тогда в точке существуют частные производные сложной функции 
, и для них справедливы формулы:
(9)
,
или в другой записи:
.
Доказательство. Проведем его для частной производной 
. Придадим переменной в точке 
приращение 
; оно вызовет частные приращения 
промежуточных переменных 
, которые в свою очередь вызовут частное приращение 
сложной функции . В силу непрерывности частных производных (условие 1) к приращению применима формула (4):
,
откуда, деля на 
, получаем:
. (10)
Здесь 
— постоянные величины для фиксированной точки . Далее, в силу непрерывности функций (условие 3):
, 
,
а тогда и величины 
в представлении (10) также стремятся к нулю.
Переходя в равенстве (10) к пределу при 
, получаем на основании свойств предела и условия 2:
,
и далее,
.
Замечание. Аналогичные формулы имеют место для функций большего числа переменных. Например, в ситуации:
,
и
, 
, 
, 
,
имеем:
Пример. Пусть
;
.
Тогда
;
далее,
Поэтому
;
.
