Метод Крамера

Этот метод тоже применяется для систем из n – уравнений с n – неизвестными. Допустим, мы имеем систему из 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

а11 х1 + а12 х2 + а13 х3 = b1 а11 а12 а13

a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 Обозначим: = а21 а22 а23

a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3. а31 а32 а33

b1 a12 a13 a11 b1 a13 a11 a12 b1 х1 = 1/

1 = b2 a22 a23 2 = a21 b2 a23 3 = a21 a22 b2 х2 = 2/

b3 a32 a33 a31 b3 a33 a31 a32 b3 х3 = 3/

Пример:

х1 + х2 + х3 = 3 1 1 1

2х1 – х2 – 2х3 = -1 = 2 –1 –2 = 1 + (-2) + 4 - (-1) - 2 + 4 = 10

х1 + 2х2 – х3 = 2 1 2 -1

3 1 1

1 = -1 –1 -2 = 3 – 4 – 2 + 2 – 1 + 12 = 10

2 2 -1

1 3 1

2 = 2 –1 –2 = 1 – 6 + 4 + 1 + 6 + 4 =10

1 2 -1

1 1 3

3 = 2 –1 –1 = -2 – 1 + 12 + 3 – 4 + 2 = 10

1 2 2

х1 = 10/10 = 1; х2 = 1; х3 = 1.

1 + 1 + 1 = 3

2*1 – 1 – 2*1 = -1

1 + 2*1 – 1 = 2 Ответ: (1;1;1).

Решение систем линейных уравнений матричным способом

а11 x1 + a12 x2 + … + а1n xn = b1

Дано: a21 x1 + a22 x2 + … а2n xn = b2

………………………………

аn1 x1 + an2 x2 + … + аnn xn = bn

Эту систему можно записать в виде матриц: А*Х = В, где:

а11 а12 … а1n x1 b1

А = а21 а22 …а2n X = x2 B = b2

аn1 аn2 …аnn … …

xn bn

-1 -1

Тогда решение С Л А У выглядит в виде Х = А * В, где А – обратная матрица.

Пример. Решим предыдущую задачу в матричном виде:

х1 + х2 + х3 = 3 1 1 1 х1

2х1 – х2 – 2х3 = -1 А = 2 -1 –2 Х = х2

х1 + 2х2 – х3 = 2 1 2 -1 х3

3 -1

В = -1 А =?

1+1 -1 -2

а11 = (-1) 2 -1 = (-1)*(-1) – (-2)*2 = 1 + 4 =5

3 2 -2

а12 = (-1) 1 -1 = 6

4 2 -1

а13 = (-1) 1 2 = 5

3 1 1

а21 = (-1) 2 -1 = 3

4 1 1

а22 = (-1) 1 -1 = -2 а32 =4

5 1 1

а23 = (-1) 1 2 = 1 а33 = -3

4 1 1

а31 = (-1) -1 -2 = -1

5 0 5 -1 5 3 –1 1 1 1

А = 3 –2 -1 А = 0 –2 4 А = 2 –1 –2 = 10

-1 4 –3 5 –1 –3 1 2 -1

-1 5 3 -1 1 1 1 10 0 0 1 0 0

А * А = 1/10 * 0 –2 4 * 2 –1 –2 = 1/10 0 10 0 = 0 1 0

5 –1 -3 1 2 -1 0 0 10 0 0 1

5 3 -1 3 1 0 1

Х = 1/10 * 0 –2 4 * -1 = 1/10 1 0 = 1

5 –1 -3 2 1 0 1

х1 = 1 х2 = 1 х3 = 1.