Пусть А – какая-нибудь матрица, тогда матрица В называется обратной к ней, если А*В = В*А = Е, где Е – единичная матрица.
Обозначается обратная матрица – А. Только квадратная матрица может иметь обратную матрицу.
Для нахождения обратной матрицы можно использовать следующий алгоритм:
- если матрица квадратная, то переходим к п.2, если нет, то обратная матрица не существует;
- вычислить определитель матрицы А; если он равен нулю, то обратная матрица не существует; если же не равен нулю, то переходим к п.3;
- вместо каждого элемента ставим его …: дополнение транспонируем …
- каждый элемент, полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы А.
а11 а12…а1n 2 1 –2 -1
А = 1 / А * а21 а22…а2n Пример: А = 1 2 –1 Найти А
аn1 аn2…аnn 1 3 4
2 1 -2
А = 1 2 –1 = (2*2*4 + 1*(-2)*3 + 1*(-1)*1) – (1*2*(-2) + 1*1*4 + 3*(-1)*2)
1 3 4
= 15 = 0
2 2 –1 1 –2 1 -2
а11 = (-1) 3 4 = 11 а21 = - 3 4 = -10 а31 = 2 –1 = 3
3 1 –1 2 –2 2 -2
а12 = (-1) 1 4 = -5 а22 = 1 4 = 10 а32 = - 1 –1 = 0
1 2 2 –1 2 1
а13 = 1 3 = 1 а23 = - 1 3 = -5 а33 = 1 2 = 3
11 –5 1 11 –10 3 -1 11 –10 3
А = -10 10 –5 А = -5 10 0 А = 1/15 -5 10 0
|
|
3 0 3 1 -5 3 1 -5 3
Проверка:
-1 2 1 –2 11 –10 3 15 0 0 1 0 0
А * А = 1 2 –1 * 1/15 -5 10 0 = 1/15 0 15 0 = 0 1 0
1 3 4 1 –5 3 0 0 15 0 0 1