Основные определения. Действия над векторами

Определение. Вектором называется направленный отрезок АВ, в котором точка А рассматривается как начало, а В – конец вектора. Вектор обозначается:

АВ = а = а; А В

Определение. Векторы, параллельные одной прямой называются коллинеарными. Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление или противоположное.

Векторы, перпендикулярные друг к другу называются ортогональными.

коллинеарные векторы.

Вектор в координате …. Пусть а = АВ, где А х1; у1, В х2; у2.

Тогда АВ (х2 – х1; у2 –у1) = а (ах; ау).

у2 В

ау

у1 А

х1 х2

ах

Действия над векторами: 2 2

1. Длина вектора: а = АВ = (х2 – х1) + (у2 – у1) =

2 2

= ах + ау

2. Сложение векторов: а (ах; ау); b(bx; bу); а + в = (ах + by; ау + by)

b а

а а

а+в=с b

а+b-c а+b=c

b

3. Вычитание векторов: а – b = (ax – bx; ау – by)

а-b=c b-a=c

а а+(-b)=c а

b b

4. Умножение вектора на число (l): l а = (l ах; l ау)

а l а = 2а

l = 2

5. Скалярное произведение векторов – это произведение векторов на cos угла между ними:

(а * b) = a * b * cos j, где j - угол между векторами.

a b если (а * b) = 0.

В координатной форме скалярное произведение записывается следующим образом: (а * b) = ах * bх + ау * by = 0, так как cos = cos 90 градусам.

Два вектора коллинеарны, если координаты этих векторов пропорциональны по отношению друг к другу, т.е.

а b ax/bx = ay/by = k.

Пример. Даны точки А (0; 1); В (3; 1); С (2; 2); D (9; 0). Найти: 2 АВ + СD.

АВ = (3 – 1; 1 – 1) = (3; 0); СD = (9 – 2; 0 – 2) (7; -2)

2АВ = (2*3; 0*2) = (6; 0) 2АВ + СD = (7 + 6; (-2) + 0) = (13; -2).

Пример. Имеем точки А(2; -3); В (1; 4); С (-4; 1); D (-5; -5)

Требуется найти координаты точки, равноудаленной от точек А и D (на оси ОХ);

Доказать, что в четырехугольнике АВСD диагонали АС ВD.

у

В ЕА = ЕD

С 2 2

ЕА = (2-х) + (3-у) =

1 2 2

х = 4 – 4х + х + 9 + 6у + у =

1 А 2 2

= х + у - 4х + 6у + 13.

D 2 2

ЕD = (-5-х) + (-5-у) =

2 2 2 2

= 25 + 10х + х + 25 + 10у + у = х + у + 10х + 10у + 50

ЕА = (2-х; -3-у); ЕD = (-5-х; -5-у);

2 2 2 2

х + у + 10х + 10у + 50 = х + у - 4х + 6у + 13

14х + 4х + 37 = 0;

при условии, точка должна находиться на оси ОХ, у = 0.

14х + 37 = 0

14х = -37

х = -2,64 Е (-2,64; 0).

Доказать, что АС ВD: АС = (-4-2; 1-(-3)) = (-6;4)

ВD = (-5-1; -5-4) = (-6;-9)

(АС*ВD) = (-6)*(-6) + 4*(-9) =36 – 36 = 0

АС ВD.