Метод Гаусса решения системы линейных уравнений

Пусть дана система n – линейного уравнения с n – неизвестными:

a11 х1 + а12 х2 + … + а1n хn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + а2n xn = b2 система

………………………………. линейного

an1 x1 + an2 + x2 + … + аnn xn = bn уравнения.

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении переменных х1, х2, …, хn, в первом, во втором и т.д. уравнениях так, чтобы привести систему в конце концов к следующему треугольному виду:

а11 х1 + а12 х2 + … + а1n xn = b1

a22 x2 + … + а2n xn = b2

…………………

ann xn = bn

Затем последует обратный процесс, т.е. найдем из последнего уравнения хn, затем подставив его в предпоследнее, найдем хn-1 и т.д.

Пример. Методом Гаусса решить систему:

х1 + х2 – 2х3 = 6 Отнимаем со 2-го уравнения 1-ое уравнение,

2х1 + 3х2 – 7х3 = 16 умножим на 2. Затем от 3-го отнимаем 1-ое

5х1 + 2х2 + х3 = 16. уравнение умножим 5.

х1 + х2 – 2х3 = 6 Складываем к 3-му уравнению 2-ое уравнение,

х2 – 3х3 = 4 умножим на 3.

-3х2 + 11х3 = -14

х1 + х2 – 2х3 = 6 Обратный процесс: х3 = -1

х2 – 3х3 = 4 х2 – 3 (-1) = 4

2х3 =-2 х2 = 1

х1 + 1 – 2 (-1) = 6

х1 = 3

Проверка: 3 + 1 – 2 (-1) = 6

2*3 + 3*1 – 7 (-1) = 16

5*3 + 2*1 + (-1) = 16

Ответ: х1 = 3; х2 = 1; х3 = -1.