double arrow

Теоремы сравнения рядов


Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая теорема.

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда

Если, хотя бы начиная с некоторого места (скажем, для n>N), выполняется неравенство: аnbn, то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А) или - что то же - из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство. На основании того, что отбрасывание конечного числа начальных членов ряда не отражается на его поведении, мы можем считать, не нарушая общности, что аnbn при всех значениях n=1,2,3,... Обозначив частичные суммы рядов (А) и (В), соответственно, через Аn и Вn, будем иметь: аnbn.

Пусть ряд (В) сходится, тогда его частичные суммы Вn ограничены: ВnL (L=const; n=1,2,3,...).

В силу предыдущего неравенства, и подавно АnL, а это, по той же теореме, влечет за собой сходимость ряда (А).

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из первой:

Теорема 2. Если существует предел (в предположении, что вn0)




(0К+) ,

то из сходимости ряда (В), при K<+, вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости первого ряда, при K>0, вытекает расходимость второго. (Таким образом, при 0<К<+ оба ряда сходятся или оба расходятся одновременно).

Доказательство. Пусть ряд (В) сходится и К<+. Взяв произвольное число 0, по самому определению предела, для достаточно больших n будем иметь

, откуда аn<(K+ )вn.

В силу 3о одновременно с рядом (В) будет сходится и ряд (К+)вn, полученный умножением его членов на постоянное число К+. Отсюда, по предыдущей теореме, вытекает сходимость ряда (А).

Если же ряд (В) расходится и К>0, то в этом случае обратное отношение имеет конечный предел; ряд (А) должен быть расходящимся, ибо если бы он сходился, то, по доказанному, сходился бы и ряд (В).

Примеры.

Исследовать сходимость ряда

.

Члены ряда не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда, составленного из членов геометрической прогрессии с общим членом :

(n=1,2,3,...).

Согласно теореме 1 данный ряд также сходится.

Ряд (0<x<) расходится по теореме 2; в силу того, что и

расходится.

Трудность применения на практике признаков (теорем 1 и 2) сравнения состоит в необходимости иметь “запас” рядов, сходимость (или расходимость) которых известна.







Сейчас читают про: