Теорема (признак Даламбера). Пусть для числового ряда с положительными членами:
cуществует l. Тогда
при l <1 ряд сходится,
при l >1 ряд расходится,
при l =1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае признак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).
По определнию предела 0 N=N(), что n>N выполняется неравенство:
или .
Выберем N так, чтобы для n>N было l +=q<1, тогда
Ряд aNq+aNq2+...+aNqm+... сходится, так как знаменатель прогрессии q<1. Тогда по теореме 1 ряд также сходится.
Для случая ℓ>1 доказательство аналогично, только нужно рассмотреть .
Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
Решение. - ряд сходится.
Рассмотрим ряд с положительными членами an>0.
Признак Коши: Если существует , то при l <1 ряд сходится; l >1 - ряд расходится; l =1 — определить сходимость невозможно.
Доказательство признака Коши аналогично доказательству признака Даламбера.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Применим признак Коши:
|
|
- ряд сходится.