Признаки Даламбера и Коши

Теорема (признак Даламбера). Пусть для числового ряда с положительными членами:

cуществует l. Тогда

при l <1 ряд сходится,

при l >1 ряд расходится,

при l =1 ряд может сходиться или расходиться (в этом случае признак на вопрос о сходимости ряда ответа не дает).

По определнию предела 0 N=N(), что n>N выполняется неравенство:

или .

Выберем N так, чтобы для n>N было l +=q<1, тогда

Ряд a_Nq+a_Nq²+...+a_Nq^m+... сходится, так как знаменатель прогрессии q<1. Тогда по теореме 1 ряд также сходится.

Для случая ℓ>1 доказательство аналогично, только нужно рассмотреть .

Пример. Исследовать на сходимость ряд

.

Решение. - ряд сходится.

Рассмотрим ряд с положительными членами a_n>0.

Признак Коши: Если существует , то при l <1 ряд сходится; l >1 - ряд расходится; l =1 — определить сходимость невозможно.

Доказательство признака Коши аналогично доказательству признака Даламбера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Применим признак Коши:

- ряд сходится.