Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

Момент силы характеризует ее вращательное действие. Различают момент силы относительно точки и относительно неподвижной оси.

Моментом силы относительно точкиО называется векторная величина равная векторному произведению радиус - вектора , проведенного из точки О в точку прило- жения силы, на вектор силы:

. (1.36)

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой расположены векторы , а его направление определяется также прави- лом правого винта (рис.1.9).

Модуль момента силы равен

M = F r sina = F l, (1.37)

где a – угол между , l = r sina – плечо силы , определяемое длиной перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина Мz, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно произвольной точки О, принадлежащей этой оси. Значение Мz не зависит от выбора положения точки О на оси Z (рис.1.10). Действительно, разложим вектор силы на три составляющие: – параллель- ную оси z, – перпендикулярную оси z, – касательную к окружности радиуса R с центром на оси z. Вращательное действие оказывает только составляющая , поэтому момент силы относительно оси будет равен

= r F_t cos a = R F_t. (1.38)

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Скорость изменения момента импульсачастицы со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу:

. (1.39)

Для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Z, скорость изменения момента импульса тела Lz определяется действием результирующего момента всех внеш- них сил, относительно данной оси, т.е.

, (1.40)

учитывая, что, получим

, (1.41)

или

. (1.42)

Уравнения (1.40) - (1.42) представляют собой уравнения динамики вращательного движения твердого тела относи- тельно неподвижной оси.

Из последней формулы видно, что чем больше момент инерции тела, тем меньшее угловое ускорение оно приобретает под действием одного и того же момента внешних сил.

В самом общем случае, движение свободного твердого тела удовлетворяет следующим двум дифференциальным уравнениям:

Здесь m – масса тела, I_c – момент инерции тела относительно центра масс, - главный вектор внешних сил, - главный момент внешних сил относительно точки С.

Первое уравнение описывает поступательное движение свободного тела со скоростью его центра масс. Второе уравнение описывает вращение твердого тела вокруг его центра масс.