Решение игр с помощью линейного программирования

Пусть дана платежная матрица

	В1	В2	…	Вn
А1	а11	а12		а1n
А2	а21	a22		a2n
…
Аm	am1	am2		amn

a₁₁p₁ + a₂₁p₂ +…a_m1p_m V,

………………………

a_1np₁ + a_2np₂ +…a_mnp_m V,

p₁ + p₂ + …p_m=1

Разделим все ограничения на V

a_{11 +} a_{21 +…} 1,

…………..

a_1n + a_2n +.. 1

Обозначим =x_i, тогда

a₁₁x₁ + a₂₁x₂ +…a_m1x_m 1,

………………………

a_1nx₁ + a_2nx₂ +…a_mnx_m 1,

Т.к. =x_i, и p₁ + p₂ + …p_m=1, то x₁ +x₂ +…x_m = , где V необходимо максимизировать, следовательно - минимизировать.

Для игрока В задача линейного программирования примет вид

a₁₁y₁ + a₁₂y₂ +…a_1ny_n 1,

………………………

a_m1y₁ + a_m2y₂ +…a_mny_n 1,

Целевая функция Z(y) = y₁ + y₂ …y_n стремится к максимуму.

Задача. Предприятие выпускает продукцию трех видов А₁, А₂, А₃, получая прибыль, зависящую от спроса, который может быть в 4-х состояниях В₁, В₂, В₃, В₄. Дана матрица прибыли, которую получает предприятие при выпуске i- ой продукции с j –м состоянием спроса

	В1	В2	В3	В4
А1
А2
А3

Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом спросе.

Решение.

Р=

V₁ V₂, оптимальное решение ищем в смешанных стратегиях.

S_A=(p₁, p₂, р₃) S_B=(q₁,q_2,q₃)

x_i = , y_j = , тогда

Решая систему, получим

Y_опт.=(0,04; 0,15; 0)

X_опт.=(0,05; 0; 0,14)

Цена игры V= 5,4.

Самостоятельно. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую можно отправить потребителю (А₁), отправить на склад (А₂), подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения (А₃). Потребитель может приобрести продукцию немедленно (В₁), в течении небольшого времени (В₂), после длительного времени (В₃). Если применяются стратегии А₂ или А₃, то накладываются дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, что не требуется при стратегии А₁. При отправке на склад – дополнительные убытки в случае применения стратегии В₂ или В₃. Определить оптимальные пропорции продукции при матрице затрат

Р =