Методика выполнения задания

Лабораторная работа № 12

Вычисление производной функции

Вычисление определенных интегралов

Цель работы:

выработать навык использования табличного процессора MS Excel для численного (приближенного) вычисления производных функций (дифференцирование) и определенных интегралов (интегрирование) заданных в табличном виде.

Задание 1

Для примера своего варианта, используя MS Excel, вычислить производную заданной функции тремя способами: правых конечных разностей, левых конечных разностей и центральных разностей. Построить совмещенные графики вычисленных производных и табулированной производной, заданной аналитически. Провести анализ точности вычисления производной для всех способов. Сделать выводы.

Методика выполнения задания.

Способы вычисления производной функции, заданной в табличном виде:

способ правой конечной разности

способ левой конечной разностью

способ центральных разностей

Вычисление производных на границе интервала, где задана функция, имеет свои особенности. Несложно догадаться, что, например, если вычислять производные согласно формуле для правых разностей, на правой границе диапа­зона производную вычислить не удастся. Для формулы левых разностей пробле­мы возникают, соответственно, на левой границе. Что касается центральных раз­ностей, то формула не может использоваться на обеих границах интервала.

Пример

Вычислить производную функции на интервале [0; 5].

Аналитически производная выражается формулой .

На рисунке представлена функция, табулированная с шагом 0,5 и формулы вычисления производной перечисленными выше способами. Там же приведены и точные значения производной в соответствующих точках интервала.

Порядок решения примера:

1. В ячейку А2 вводим 0 (начальное значение интервала) и с шагом 0,5 заполняем диапазон до значения 5 (конечная ячейка А12).

2. Вводим формулы:

в ячейку В2 =1/(1+A2) (функция 1/(1+x)) и копируем до ячейки В12;

в ячейку С2 (Правые разности) =(В3-В2)/(A3-A2) и копируем до ячейки С11;

в ячейку D3 (Левые разности) =(В3-В2)/(A3-A2) и копируем до ячейки D12;

в ячейку Е3 (Центральные разности) =(В4-В2)/(A4-A2) и копируем до ячейки E11;

в ячейку F2 (Точное значение) =−1/(1+A2)^2 (аналитически вычисленная производная -1/(1+x)^2) и копируем до ячейки F12.

На рисунке приведено расположение формул в ячейках таблицы.

3. Строим совмещенные графики, вычисленной производной всеми способами и проводим анализ. При заданных начальных условиях ближе всего к точному решению находится результаты расчета способом центральных разностей.