Резонансы в цепях sin-тока

Резонансом называется такой режим работы цепи, содержащей индуктивные и емкостные элементы, при котором ее полное входное сопротивление (или проводимость) является вещественной величиной и, как следствие, ток и напряжение на входе совпадают по фазе.

1) цепь с последовательным соединением (резонанс напряжений)

;

где полное комплексное сопротивление:

;

или в показательной форме: ;

где фаза: ; реактивная составляющая: .

В зависимости от соотношения между возможны три варианта (при нулевой начальной фазе тока):

1. или и, следовательно, : в цепи будет преобладать индуктивность (цепь будет носить индуктивный характер); напряжение будет опережать ток и сдвиг фаз будет положительным: . Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 2,а.

2. В цепи преобладает емкость, т.е. -π/2 < φ < 0 и – напряжение отстает от тока и цепь будет носить емкостной характер (векторная диаграмма – рис. 2,б).

3. ; ; - случай резонанса напряжений (рис. 2,с) – напряжение совпадает по фазе с током, цепь будет носить резистивный характер. При этом Z=R – условие получения резонанса, т.е. полное комплексное сопротивление (проводимость) должны быть вещественными.

В этом случае в цепи будет протекать максимальный ток . Он создаёт на реактивных элементах одинаковые по величине и противоположные по направлению напряжения: , которые могут в раз превышать напряжение источника воздействия.

Резонансную частоту можно найти из формулы условия резонанса напряжений:

.

Таким образом, при резонансе напряжений или режимах, близких к нему, ток в цепи резко возрастает. В предельном случае при он стремится к бесконечности , и соответственно этому в раз по сравнению с напряжением источника питания будут увеличиваться напряжения на катушке и конденсаторе.

Физическая сущность резонанса заключается в периодическом обмене энергией между магнитным полем катушки и электрическим полем конденсатора, причем сумма энергий полей остаётся постоянной. То же справедливо, если в цепи имеется несколько индуктивных и ёмкостных элементов, тогда вводят понятие эквивалентных величин, которые соответственно определяются:

Резонансными кривыми называются зависимости тока и напряжения от частоты. Одной из основных характеристик резонансного контура является добротность, определяемая как отношение напряжения на реактивном элементе к входному напряжению (или отношение реактивного и резистивного сопротивления):

.

Она является безразмерной величиной и характеризует частотно-избирательные свойства резонансного контура, в частности, его полосу пропускания : .

Другим параметром резонансного контура является характеристическое сопротивление:

.

2) Цепь с параллельным соединением (резонанс токов)

Для этой цепи: , тогда полная комплексная проводимость:

где ее модуль: ; фаза: .

В зависимости от соотношения проводимостей реактивных элементов возможны три следующих случая:

1. ; следовательно, цепи (напряжение опережает) (векторная диаграмма на рис. 5,а).

2. ; следовательно, цепи (ток опережает) (рис. 5,б).

3. → - условие резонанса токов, при котором полная комплексная проводимость является вещественной: и сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю: (рис. 5,с). При этом .

Таким образом, при резонансе токов в реактивных элементах возникают равные по величине и противоположные по направлению (знаку) токи: , которые могут превышать общий входной ток в раз.

Из условий резонанса напряжений и токов видно, что в обоих этих случаях резонансная частота определяется одинаково. Однако это справедливо только для простейших схем с последовательным или параллельным соединением. В общем случае, при определении резонансной частоты в цепи произвольной конфигурации, необходимо исходить из условия вещественности функции входного сопротивления (проводимости) цепи. Так, для приведенного примера полная комплексная проводимость определится:

.

Поскольку в режиме резонанса мнимая часть должна быть равна нулю, то условие резонанса будет иметь вид: , откуда можно непосредственно определить значение резонансной частоты данного контура.

При определении резонансной частоты в сложных схемах со смешанным соединением аналитические выражения для входной реактивной проводимости или сопротивления необходимо представить в виде отношения двух полиномов по степени частоты : . Тогда корни уравнения дадут значения частот, соответствующих резонансам напряжений; а корни уравнения - частоты для резонансов токов. При этом общее число резонансных частот в цепи на единицу меньше количества индуктивных и емкостных элементов в схеме после ее приведения (при помощи эквивалентных преобразований) к минимальному количеству этих элементов и режимы резонансов токов и напряжений чередуются по частоте.