Алгебраические и трансцендентные числа

Число называется алгебраическим, если оно является корнем некоторого многочлена с целыми коэффициентами

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a₀ (т. е. корнем уравнения a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+... +a₁x+a₀=0, где a_n, a_n-1,..., a₁, a₀ --- целые числа, n 1, a_n 0).

Множество алгебраических чисел обозначим буквой .

Легко видеть, что любое рациональное число является алгебраическим. Действительно, - корень уравнения qx-p=0 с целыми коэффициентами a₁=q и a₀=-p. Итак, .

Однако не все алгебраические числа рациональны: например, число является корнем уравнения x²-2=0, следовательно, --- алгебраическое число.

Долгое время оставался нерешенным важный для математики вопрос: Существуют ли неалгебраические действительные числа? Только в 1844 году Лиувилль впервые привел пример трансцендентного (т. е. неалгебраического) числа.

Построение этого числа и доказательство его трансцендентности очень сложны. Доказать теорему существования трансцендентных чисел можно значительно проще, используя соображения об эквивалентности и неэквивалентности числовых множеств.

А именно, докажем, что множество алгебраических чисел счетно. Тогда, поскольку множество всех действительных чисел несчетно, мы установим существование неалгебраических чисел.

Построим взаимно однозначное соответствие между и некоторым подмножеством . Это будет означать, что - конечно либо счетно. Но поскольку , то бесконечно, и значит, счетно.

Пусть - некоторое алгебраическое число. Рассмотрим все многочлены с целыми коэффициентами, корнем которых является , и выберем среди них многочлен P минимальной степени (т. е. не будет корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами меньшей степени).

Например, для рационального числа такой многочлен имеет степень 1, а для числа - степень 2.

Разделим все коэффициенты многочлена P на их наибольший общий делитель. Получим многочлен, коэффициенты которого взаимно просты в совокупности (их наибольший общий делитель равен 1). Наконец, если старший коэффициент a_n отрицателен, умножим все коэффициенты многочлена на -1.

Полученный многочлен (т. е. многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число , имеющий минимально возможную степень, взаимно простые коэффициенты и положительный старший коэффициент) называется минимальным многочленом числа .

Можно доказать, что такой многочлен определяется однозначно: каждое алгебраическое число имеет ровно один минимальный многочлен.

Количество действительных корней многочлена не больше чем его степень. Значит, можно пронумеровать (например, по возрастанию) все корни такого многочлена.

Теперь всякое алгебраическое число полностью определяется своим минимальным многочленом (т. е. набором его коэффициентов) и номером, который отличает от других корней этого многочлена: (a₀,a₁,...,a_n-1,a_n,k).

Итак, каждому алгебраическому числу мы поставили в соответствие конечный набор целых чисел, причем по этому набору восстанавливается однозначно (т. е. разным числам соответствуют разные наборы).

Пронумеруем в порядке возрастания все простые числа (нетрудно показать, что их бесконечно много). Получим бесконечную последовательность {p_k}: p₁=2, p₂=3, p₃=5, p₄=7,... Теперь набору целых чисел (a₀,a₁,...,a_n-1,a_n,k) можно поставить в соответствие произведение

(это число положительное и рациональное, но не всегда натуральное, ведь среди чисел a₀, a₁,..., a_n-1, могут быть отрицательные). Заметим, что это число есть несократимая дробь, поскольку простые множители, входящие в разложения числителя и знаменателя, различны. Заметим также, что две несократимые дроби с положительными числителями и знаменателями равны тогда и только тогда, когда и их числители равны, и их знаменатели равны.

Рассмотрим теперь сквозное отображение:

(a₀,a₁,...,a_n-1,a_n,k) =

Поскольку разным алгебраическим числам мы поставили в соответствие разные наборы целых чисел, а разным наборам --- разные рациональные числа, то мы, таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством и некоторым подмножеством . Поэтому множество алгебраических чисел счетно.

Так как множество действительных чисел несчетно, то мы доказали существование неалгебраических чисел.

Однако теорема существования не указывает как определить, является ли данное число алгебраическим. А этот вопрос иногда является весьма важным для математики.