Квадратура круга

В 1882 году немецкий математик Линдеман доказал, что число трансцендентно. Из этого сразу следует невозможность решения одной из знаменитых задач древности.

Этих задач было три: об удвоении куба, о трисекции угла и о квадратуре круга. Их пытались решить еще математики Древней Греции.

Задача о квадратуре круга. На плоскости имеется круг. При помощи циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого равна площади этого круга.

Пусть круг имеет радиус 1, т. е. задан отрезок длины 1. Площадь этого круга равна , поэтому построение искомого квадрата сводится к построению отрезка длины .

Далее воспользуемся известным геометрическим фактом: если задан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить только такие отрезки, длины которых суть числа очень специального вида. А именно, эти числа могут быть получены из рациональных чисел с помощью операций извлечения квадратного корня, а также сложения и умножения.

Но все такие числа (это нетрудно доказать) являются алгебраическими, т. е. для каждого из них можно построить многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого оно является.

Поскольку число трансцендентно, то и трансцендентно. Поэтому построить отрезок длины при помощи циркуля и линейки невозможно.

Вы видите, как решение задачи теории чисел --- о трансцендентности числа --- влечет решение геометрической задачи. Это еще один яркий пример тесной связи между различными областями математики.