Иррациональные числа

Рассмотрим цепочку .

Действительных чисел "больше" чем рациональных, потому что счетно, а - несчетно. Значит, существуют иррациональные (не являющиеся рациональными) действительные числа. (На самом деле, иррациональных чисел "намного больше" чем рациональных, и если случайным образом бросить точку на числовую прямую, она почти наверняка попадет в иррациональное число.)

Заметим, что мы доказали теорему существования иррациональных чисел, не предъявив ни одного иррационального числа.

Но совсем нетрудно привести и пример иррационального числа, например, это . Действительно, пусть это число рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

= ,

где p и q --- целые числа, не имеющие общих делителей (кроме 1). Возведя это равенство в квадрат, получим

2q²=p².

Значит, p² четно, p*p делится на 2. Поэтому p делится на 2, а значит, p² делится на 4. (Если p=2p₁, то p²=4p₁².) Тогда

2q²=4p₁²,
q²=2p₁².

Это означает, что q² делится на 2, поэтому и q делится на 2.

Мы получили, что и p, и q делятся на 2, и дробь можно сократить на 2. Но мы же предполагали, что эта дробь несократима! Полученное противоречие означает, что 2 не может быть рациональным числом.

Итак, - число иррациональное.

Конечно, когда мы доказали иррациональность числа , мы тем самым еще раз доказали теорему существования иррациональных чисел. Однако существуют и такие классы чисел, доказать существование которых намного проще, чем построить конкретный пример.