Решение проблемы

Трансцендентность чисел вида при алгебраическом , и алгебраическом иррациональном была впервые доказана в 1934 г. А. О. Гельфондом и несколько позднее Т. Шнейдером. Общая проблема отсутствия алгебраических соотношений с целыми коэффициентами между числами вида при прежних предположениях относительно и не решена на момент 1969 года. Некоторые частные случаи этой проблемы с помощью существенного усиления прежних методов были решены в 1949 г. А. О. Гельфондом. Не решена также проблема отсутствия алгебраических соотношений с целыми коэффициентами между логарифмами алгебраических чисел, исключая случай однородного соотношения между двумя логарифмами (на момент 1969 года). Эта проблема представляет большой интерес с точки зрения возможных приложений в области других числовых задач, в частности решения уравнений в целых числах.

Таким образом, седьмая проблема Гильберта полностью решена.