Одна теорема существования

Когда-то, на заре своего существования, журнал "Квант" предложил своим читателям следующую задачу:

Пусть a и b --- иррациональные числа. Может ли число a^b быть рациональным?

Конечно, с использованием седьмой проблемы Гильберта эту задачу решить нетрудно. В самом деле, число --- трансцендентное (поскольку --- алгебраическое иррациональное число). Но все рациональные числа являются алгебраическими, поэтому --- иррациональное. С другой стороны,

( ) = ^* = ²=2.

Итак, мы просто предъявили такие числа: a= , b= . Однако эта задача может быть решена и без каких-либо ссылок на результат Гельфонда. Среди читателей нашелся школьник, который не знал, что такое седьмая проблема Гильберта, но прислал поразительно красивое решение. Он рассуждал так: "Рассмотрим число . Если это число рациональное, то задача решена, такие a и b найдены. Если же оно иррациональное, то возьмем a= , b= , иa^b=( ) =2".

Итак, этот школьник предъявил две пары чисел a и b, таких что одна из этих пар удовлетворяет поставленному условию, но ему неизвестно, какая именно. Но ведь предъявить такую пару и не требовалось! Таким образом, это элегантное решение в некотором смысле представляет собой теорему существования.

Проблема решена решена Гельфондом в 1934 году, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными. (и независимо Шнайдером) в более общем виде: если a ≠ 0, 1 — алгебраическое число, и b — алгебраическое, но иррациональное, то —трансцендентное число.

В создании и развитии методов доказательства трансцендентности чисел за годы, прошедшие со времени постановки проблем Д. Гильберта, были достигнуты существенные успехи и основная проблема, поставленная Д. Гильбертом, была решена в общем виде. Два основных метода доказательства трансцендентности, как это и было предположено Д. Гильбертом, основаны на исследовании арифметических и аналитических свойств функции, значением которой является при алгебраическом значении аргумента исследуемое число.

Геометрическая проблема трансцендентности отношения основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, отношение углов которого будет иррациональным алгебраическим числом, сводится к трансцендентности числа при алгебраическом и действительном . Трансцендентность чисел вида , где – алгебраическое число, а целое, была доказана А. О. Гельфондом в 1929 г. Трансцендентность чисел вида при тех же предположениях относительно и и дополнительном условии иррациональности была доказана Р. О. Кузьминым.